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向量共线问题证明共线问题常用方法
向量的共线问题
数法，在向量中，这种方法也被广泛应用，如平行向量基本定理、平面向量基本定理就是这种方法的体现形式.
【例6】如图，在△ABC中，M是BC的中点，
N在AC上且AN=2NC，AM与BN交于点P，
求AP∶PM的值.
【审题指导】题目中给出了M点是△ABC
的边BC的中点，AC边上的点N满足AN=2NC，欲求AP∶PM的值，
可适当选取基底表示出 因为点A、P、M共线，若有
则λ为AP∶PM的值.
【规范解答】
∵A、P、M与B、P、N共线,
∴AP∶PM=4∶1.
平面向量的应用
平面向量两个方面的应用
(1)在平面几何中的应用.
向量的加法运算和全等、平行，数乘向量和相似，距离、夹角和数量积之间有着密切联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题.
(2)在物理中的应用.
主要解决力、位移、速度等问题.
【例7】已知正方形ABCD,E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.
求证：（1）BE⊥CF；（2）AP=AB.
【审题指导】本题欲求证线段垂直和相等，，可建系设点，把向量用坐标表示出来，用向量的有关知识解决.
【规范解答】如图建立平面直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB=2，
则A(0,0),B(2,0),C(2,2),
E(1,2),F(0,1).
(1) =(1,2)-(2,0)=(-1,2)，
=(0,1)-(2,2)=(-2,-1)，
=-1×(-2)+2×(-1)=0，
即BE⊥CF.
（2）设P(x,y)，则 =（x,y-1）, =(-2,-1)，
∴-x=-2(y-1)，即x=2y-2.
同理由 ，得y=-2x+4,代入x=2y-2.
【例8】如图所示，求两个力
的合力 的大小（ N）和
方向（精确到分）.
【审题指导】题中给出两个力的大小
及夹角的数值，欲求合力，可利用向量的加法运算，在三角形中解决.
【规范解答】设 =(a1,a2),
=(b1,b2),
则a1=300cos30°≈,
a2=300sin30°=，
b1=-200cos45°≈-,
b2=200sin45°≈,
所以 =(,), =(-,),
=(,)+(-,)
=(,),
设 与x轴的正向夹角为θ,
则tanθ= ≈ 1.
由 的坐标知θ是第一象限的角，所以θ≈67°53′.
N，与x轴的正方向的夹角为67°53′，与y轴的夹角为22°7′.
=（3,5）, =（-2,1）,则 =( )
（A）（7，3）（B）（7,7）（C）（1,7）（D）（1,3）
【解析】选A. =(3,5)-2(-2,1)=(3,5)-(-4,2)=(7,3).
：
（1）向量 的长度与向量 的长度相等；
（2)向量 与向量 平行，则 与 的方向相同或相反；
（3）两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
（5）向量 与向量 是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；
（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中假命题的个数为( )
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
【解析】、长度、零向量，结合作图判断.
（1）真命题.
（2） 与 中有一个为零向量时，其方向是不确定的.
（3）真命题.
（4）.
（5），也可以平行.
（6），但并不是有向线段.
=(1,0), =(0,1),则与向量 垂直的一个向量
为( )
（A） （B） （C） （D）
【解析】