文档介绍：第 6 章 自适应滤波器简介
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本章主要内容
最优滤波
维纳滤波器
卡尔曼滤波器
自适应滤波
自适应滤波原理
最速下降法
最小均方算法
自适应滤波器的应用
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最优滤波
对滤波第 6 章 自适应滤波器简介
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本章主要内容
最优滤波
维纳滤波器
卡尔曼滤波器
自适应滤波
自适应滤波原理
最速下降法
最小均方算法
自适应滤波器的应用
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最优滤波
对滤波器有以下两条约束
（1）滤波器是线性的，以使对滤波器的数学分析更为简便；
（2）滤波器是离散时间的，这将使得滤波器可以采用数字硬件或软件来实现；
滤波器规格的最终细节决定于
（1）滤波器的脉冲响应是有限的还是无限的；
（2）优化统计准则类型；
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最优滤波
线性离散时间滤波器
设计一个线性离散时间滤波器的系数 ，使在给定的输入样本 …下滤波器的输出 为期望响应 的估计，并且能够使得误差 的均方值 为最小。
典型的优化准则
估计误差的均方值（MMSE ）
估计误差绝对值的期望值
估计误差绝对值的三次或更高次幂的期望值
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最优滤波
正交性原理
设线性离散时间滤波器
的期望响应为
，则滤波器的估计误差为
为使滤波器为最优，则在MMSE准则下，定义代价函数
为使
最小，定义梯度算子
将
应用于
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最优滤波
为了使
最小，梯度向量
的所有元素必须同时等于零，即
根据
的定义，可得
其中
可得
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最优滤波
由此表明代价函数
最小化的充分必要条件是估计误差
与输入
正交
正交性原理
另外，由于
可得
上式说明当滤波器工作在最优条件时，由滤波器输出定义的期望响应的估计 与响应的估计误差 是彼此正交的。
正交性原理的推论
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维纳滤波器
横向滤波器
设横向滤波器的抽头权系数
则在输入信号为 时 ，输出为
由于
是标量，所以
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维纳滤波器
展开
定义
且有
和
，可得到
均方误差函数
是滤波器权系数
的二次方程，由此形成一个具有唯一
最小值的多维超抛物曲面，称为误差性能曲面。
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维纳滤波器
为了使滤波器工作在最优状态，滤波器抽头的权系数选取应使 取最小值
由
得
由
令
，可得
Wiener-Hopf 方程
设 存在逆矩阵，得最优滤波系数（维纳解）
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卡尔曼滤波器
卡尔曼滤波器具有如下的特点：
其数学公式用状态空间概念描述
卡尔曼滤波是一个递推计算维纳解的过程
如一离散动态系统可由描述状态向量的状态方程和描述观测向量的观测方程共同表示：
状态转移矩阵
观测矩阵
卡尔曼滤波问题可以叙述为：利用观测数据向量
对
求状态向量 各个分量的最小二乘估计。
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一阶递归预测器
卡尔曼滤波器
标量卡尔曼预测器
状态方程
则 时刻的预测均方误差为
标量卡尔曼滤波器的预测公式表示为
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卡尔曼滤波器
将 代入 ，并对 和 求偏导数，并令其等于零，得
经推导，得到
从而得到标量卡尔曼预测器的定义
一阶标量卡尔曼预测器
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自适应滤波器
自适应滤波器中误差信号 被送入一个称为“自适应算法”单元，自适应算法根据 自动地调整滤波系数，使 的估计值 与所期望的响应 相等。
自适应滤波器与普通滤波器的不同之处在于其滤波系数是随着外部环境的变化而变化的，滤波系数经过一段时间的自动调整，收敛到最优值，从而达到最优滤波的效果。
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自适应滤波器
线性自适应滤波器的递推算法分为
随机梯度方法
随机梯度方法采用横向滤波器结构来实现自适应线性滤波器
由均方误差的梯度向量等于零得到最优的权系数向量
最小二乘估计方法
最小二乘估计方法是以最小加权误差平方和为优化目标
优化准则
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自适应滤波器
最速下降法
最速下降法是实现最佳搜索的一种优化技术，它利用均方误差的梯度信息来分析自适应滤波器性能和追踪最优滤波状态。也就是说，最速下降法是在梯度向量的负方向上接连地调整滤波系数，即滤波