文档介绍：第3讲凸集、凸函数、凸规划62
汇报人:
推论：
设
是凸集，
则
也是凸集，
其中
是实数．
(4)
S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸
组合仍然在S中.
凸集-----性质
注：
和集和并
第3讲凸集、凸函数、凸规划62
汇报人:
推论：
设
是凸集，
则
也是凸集，
其中
是实数．
(4)
S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸
组合仍然在S中.
凸集-----性质
注：
和集和并集有很大的区别，凸集的并集
未必是凸集，而凸集的和集是凸集．
例：
表示
轴上的点．
表示
轴上的点．
则
表示两个轴的所有点，
它不是凸集；
而
凸集．
凸集-----性质
定义 设 S 中任意有限个点的所有凸组合所构成的集合称为S的凸包，记为H(S),即
凸集-----凸包(Convex Hull)
H(S)是Rn 中所有包含S 的凸集的交集.
H(S)是包含S 的最小凸集.
定义 锥、凸锥
凸集-----凸锥 (Convex Cone)
凸函数
凸函数(Convex Function) ----
设
是非空凸集，
若对任意的
及任意的
都有：
则称函数
为
上的凸函数．
注：
将上述定义中的不等式反向，可以得到
凹函数的定义．
凸函数
严格凸函数
设
是非空凸集，
若对任意的
及任意的
都有：
则称函数
为
上的严格凸函数．
注：将上述定义中的不等式反向，可以得到严格凹函数的定义．
凸函数
对一元函数
在几何上
表示连接
的线段．
所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点
的线段总是位于曲线弧的上方．
几何性质
表示在点
处的
函数值．
f(X)
X
f(X1)
f(X2)
X1
X2
f(X)
X
f(X1)
f(X2)
X1
X2
αx1+(1-α)x2
f(αx1+(1-α)x2 )
f(X)
X
f(X1)
f(X2)
X1
X2
αx1+(1-α)x2
f(αx1+(1-α)x2 )
f(X)
X
αf( x1 ) +(1- α) f( x2)
f(X1)
f(X2)
X1
X2
αx1+(1-α)x2
f(αx1+(1-α)x2 )
f(X)
X
f(X1)
f(X2)
X1
X2
任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方
αx1+(1-α)x2
f(αx1+(1-α)x2 )
αf( x1 ) +(1- α) f( x2)
(a) 凸函数 (b)凹函数
该定义的一个应用——证明不等式
例：证明
Young不等式
推广：Hölder不等式
P41
证法：在Young不等式中令
例：
设
试证明
在
上是严格凸函数．
证明:
设
且
都有：
因此,
在
上是严格凸函数．
凸函数
例：
试证线性函数是
上的凸函数．
证明:
设
则
故,
是凸函数．
类似可以证明
也是凹函数.
凸函数
凸函数
定理1
设
是凸集
上的凸函数充要条件
性质
詹生(Jensen)不等式
不等式应用: 设
，证明:
P41
凸函数
定理2
性质
正线性组合
凸函数
定理3
设
是凸集
上的凸函数，
则对任意
，水平集
是凸集．
水平集(Level Set)
称为函数f在集合S上关于数 的水平集.
注：定理3 的逆命题不成立.
下面的图形给出了凸函数
的等值线的图形，可以看出水平集是凸集.
凸函数
凸函数
定理1:
设
是定义在凸集
上，
令
则:
(1)
是定义在凸集
是凸集
上的凸函数的充要条件是对
任意的
一元函数
为
上的凸函数.
(2)
设
若
在
上为严格
凸函数，
则
在
上为严格凸函数．
凸函数
凸函数的判别定理
该定理的几何意义是：凸函数上任意两点之
间的部分是一段向下凸的