文档介绍：第六章非负矩阵
元素都是非负实数的矩阵称为非负矩阵。
§ 1正矩阵
定义6—1 mxn的实矩阵A = （o；y）称为非负的（记为A20）或正的（记为A >0）,
如果A的所有元素都是非负的（所有<7〃 20）,或正的（所有av >
1 3_
推论设A20, B>0,且A为本原矩阵，贝I]
(1) 也是本原矩阵；
对任一正整数〃，A"也是本原矩阵；
A+ B也是本原矩阵。
§3随机矩阵
定义6-3非负矩阵A = (a..)„x„称为一个随机矩阵，如果A的每一行上的元素之和都 等于1。
定理6-7非负矩阵A = (tz..)„x„是随机矩阵的充要条件是矩阵A有特征值1,且"维 向量Z = (l,l,---,l)r是与1相应的一个正的特征向量。
定理6-8若非负矩阵A =(与),狗有正的极大特征值r = p(A) >0,且对应于特征值 r有正的特征向量Z = (zpz2,---,zz,)r >0,则矩阵A能相似于数r与某个随机矩阵P的乘 积
A = B(rP)B「i, B = diag(z1,z2,---,zJ
即是说，(B 'AB)/r是随机矩阵。
定理6-9设A为不可约随机矩阵，则极限
limA'"
m—8
存在的充要条件是A为本原矩阵。
例求limP",其中
1-21-2 O
1-2 o 1 - 2
O 1-21-2
-P
马氏链
定义4 一个马氏链的转移矩阵P是正则的，当且仅当存在正整数人，使P*的每一元 素都是正数。
定理3 若P是一个马氏链的正则阵，那么：
P有唯一的不动点向量W, W的每个分量为正。
P的"次幕P" 3为正整数)随"的增加趋于矩阵讨，W的每一行向量均等 于不动点向量W。
定理4设时齐(齐次)马氏链｛第/ = 1,2，…｝的状态空间为8 = ｛知・・・,％｝，
P = (pQ是它的一步转移概率矩阵，如果存在正整数所，使对任意的%,a产E ,都有
Pij(m)〉0, i,j = l,2,---,N
则此链具有遍历性；且有极限分布兀= ("••,"),它是方程组
N
7l = 7lP 或艮[]7Tj=£7TiPij , j = I,---, N
Z=1
的满足条件
N
7Tj>Q,
J=1
的唯一解。
§4 M矩阵
定义6-4设A = sE-B为n阶实矩阵，且320, $>0。那么，若sNp(B),则
称A为M矩阵；若s> p(B),则称A为非奇异M矩阵。
全体"阶实方阵的集合用记号Nt,®表示。又记
Z"X" = {A = («,)e 当i。j,av < 0(/, j =
定理6—10设AcZ*'为非奇异M矩阵，且DeZnx",又A<D o贝I]
A 】与存在，且A 1 >D 1 >0；
D的每个实特征值为正数；
|D| > |A| > 0
证明：(1) i)非奇异M矩阵的每个实特征值必是正数
由假设有
A-sE-B , B>0 , s > p(B)
设B的特征值为//1，以2,•••,"■，贝Us-巧为A的特征值。若S-巧为实数，则有
5-//, >5-|//(|>5-p(5)>0
ii)构造辅助矩阵P,Q,证明A—I >D 1 >0
取£>0充分小，构造矩阵
P^E-eD>Q, Q = E-eA>0,
e