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矩阵理论矩阵的标准型
一元多项式
n 是一个非负整数，表达式
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则称 f(x)与 g(x)相等，记作 f(x)(l )可逆
说明： l 矩阵可逆与数字矩阵可逆的区别与联系（向下兼容性）。
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定义. l 矩阵的初等变换
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定义: 若l 矩阵 A(l) 经过若干次初等变换变为B(l)，
l 矩阵的等价
则称 A(l)与B(l) 等价，记作
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引理：设为 n 阶l 矩阵，，
若A(l)中存在一个元素不能被整除，
则必存在与A(l)等价的矩阵
满足
“A(l)可经过若干次初等变换变成一个l 矩阵，其(1,1)
元素是其余所有元素的公因式。”
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情形1：不能被整除，
情形2：不能被整除，
证明过程与情形1 类似
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能被整除，
情形3：
但不能被整除，
此时已化成情形2
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定理：设 A(l) 为 m×n 阶l 矩阵，则A(l)等价于分块
对角阵
称为 A(l) 等价标准形，其中
并且首项系数为 1，
l 矩阵的等价标准形
例：求l 矩阵的等价标准形
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l 矩阵的秩
定义：l 矩阵A(l)的不恒为零的子式的最高阶数
显然，等价的 l 矩阵有相同的秩。
称为A(l)的秩。
事实上，l 矩阵的初等变换不会改变其子式恒为零与否
的状态，也就不会改变其不恒为零子式最高阶数。
例如，A 为 n 阶数字方阵，则
不恒为零，故
的秩为 n 。
行列式因子
定义：l 矩阵A(l)的所有 k 阶子式的最大公因式
定理：等价的 l 矩阵有相同的各阶行列式因子。
事实上，初等变换不会改变 A(l)各阶子式的最大公因式
也就不会改变其各阶行列式因子。
称为A(l)的 k 阶行列式因子，记作
性质：
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求A(l)的各阶行列式因子方法：
依行列式因子的定义：
例：求l 矩阵的各阶行列式因子。
例：求l 矩阵的各阶行列式因子。
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不变因子
定义：设为l 矩阵 A(l)的k 阶行列式因子，
定理：等价的 l 矩阵有相同的各阶不变因子。
称为A(l)的 k 阶不变因子。
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定理：l 矩阵的等价标准形是唯一的。
注意到，A(l)的等价标准形中D(l)的对角元是A(l)的
各阶不变因子。
例：
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定义：设 A(l)的各阶不变因子在复数域的标准分解式
初等因子
称指数为A(l)的初等因子。
初等因子定义等价论述：设 A(l)的每一个次数大于零的
不变因子分解成互不相同一次因式方幂的乘积，所有这
些一次因式的方幂（相同的必须按照出现的次数计算）
称为矩阵A(l)初等因子。
定理：等价的 l 矩阵有相同的初等因子。
9个
则其初等因子有7个，它们是
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例2 设
求矩阵 lE-A 的行列式因子, 不变因子, 和初等因子。
解：
矩阵相似的条件
定理：数字方阵 A 相似于 B 的充分必要条件是
lE－ A 等价于 lE－ B
定理: 方阵 A 相似于 B 的充分必要条件是
lE－ A与lE－ B有相同的:
1. 行列式因子组,

2. 不变因子组,
3. 初等因子组.
定义: 数字矩阵，数字矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子。
引理：设 2 阶l 矩阵
其中
则
与
等价。
则
与
的行列式因子
证明：设
且
的最大公因式是
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定理设 A(l)为分块对角阵
则每个子块的初等因子都是 A(l) 的
初等因子，并且 A(l) 的每个初等因子必是某个子块的初等因子。
定理在应用中把问题变得比较简单，例如
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例2 设
求矩阵 lE-A （也就是矩阵A）的行列式因子, 不变因子, 和初等因子。
解：
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求矩阵 lE-A 的行列式因子，不变因子和
初等因子。
例3 设
lE-A 的行列式因子：
lE-A 的初等因子:
lE-A 的不变因子：
( 简称: A 的初等因子 )
( 简称: A 的不变因子 )
( 简称: A 的行列式因子 )
结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，
则它们就有相同的初等因子；