文档介绍：非线性回归模型
主要内容
非线性单方程计量经济学概述
可线性化的非线性模型问题
对数模型——度量弹性
半对数模型
对数-线性模型——度量增长率
线性-对数模型——解释变量为对数形式
双曲线模型
多项式模型
不可线性化非线性模型问题
零截距模型
小结
问题的提出
到目前为止,前面介绍的内容都是一元或多元线性回归模型,即模型中的参数是线性的,变量也是线性的。
总体多元线性回归方程:
其中,Y=因变量,X2、X3=解释变量;u=随机扰动项
B1=截距,表示了当X2、X3为零时Y的平均值;
B2、B3=偏回归系数。
上述考虑的回归模型关于参数是线性的,关于变量也是线性的。
问题的提出
但是在实际经济活动中,经济变量的关系是复杂的,直接表现为线性关系的情况并不多见。例如,著名的Cobb-Dauglas生产函数表现为幂函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线(Pillips cuves)表现为双曲线形式等;如用户对新产品的接受表现为0-1两点式函数形式,因而新产品市场的占有率函数曲线可能表现为logistic或probit曲线形式。
参数线性、变量非线性的回归方程:
参数非线性、变量线性的回归方程:
非线性模型分类
非线性模型指的是关于参数或解释变量是非线性函数的模型。有些非线性模型通过一定的变换线性化,作为线性模型运用线性回归的方法进行计量经济学的处理。
根据模型是否能够转化为线性模型,非线性模型又可以分为两大类:可线性化的非线性模型和不可线性化的非线性模型。
可直接线性化的模型一般参数都是线性的,但变量不全是线性的,只要采用适当的变量代换,即可得到标准的线性模型。
可间接线性化的模型通过简单的函数变换可以转化为变量非线性参数线性的线性模型,在通过变量代换转化为为标准的线性模型。
另一类是无法通过函数转化为标准线性模型的模型,针对这类模型,还需要有一些特殊的转换途径或技巧。
一、解释变量非线性问题
现实经济现象中变量之间往往呈现非线性关系
成本与产量的关系
税收与税率的关系
在很多时候,自变量的变化与应变量并不是简单的线性关系,如考虑某一段时间内,某个经济变量增长率,如GDP增长率/货币供应/失业率等,这就需要引入回归模型的其他一些函数形式。
但是,大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理,使之化为数学上的线性关系,从而可以运用线性回归模型的理论方法。
通过函数变化,变量置换就可以化为线性模型
非线性回归模型
线性回归模型的系数解释:
问题:消费与收入之间的线性回归模型C = a + b*Y,其中回归系数b在《西方经济学》的含义是表示边际消费倾向。在此模型中的斜率仅仅给出了个人收入单位变动引起的消费的绝对量变化。
如果我们考虑商品需求的价格弹性变化,如何建立回归模型。即研究这样的问题:价格每变化一个百分点,商品的需求量将引起多大的变化率?
()
序号
能源消耗量
(十万吨)x
工业总产值(亿元)y
x2
y2
xy
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
35
38
40
42
49
52
54
59
62
64
65
68
69
71
72
76
24
25
24
28
32
31
37
40
41
40
47
50
49
51
48
58
1225
1444
1600
1764
2401
2704
2916
3481
3844
4096
4225
4624
4761
5041
5184
5776
576
625
576
784
1024
961
1369
1600
1681
1600
2209
2500
2401
2601
2304
3364
840
950
960
1176
1568
1612
1998
2360
2542
2560
3055
3400
3381
3621
3456
4408
合计
916
625
55086
26175
37887
双对数模型:度量弹性
双对数模型:度量弹性
即线性回归方程为:
计算结果表明,在其他条件不变时,能源消耗量每增加一个单位(十万吨),(亿元)。
一元线性回归分析- 例题
如果假定总体变量关系为简单线性回归模型
双对数模型:度量弹性
将上述线性模型改变为非线性回归模型:
其中Y为工业总产值,X为能源消耗量。两边取对数将()变换为下列()形式:
()
()
为了进行估计,可将模型()写成()形式,其中B1=lnA。:
()
模型()称为双对数(double-log)模型或双对数线性(log-line