文档介绍：第7课 函数的奇偶性
一、课前测试
x 奇、偶函数的定义
对于函数/(X)定义域内的任意一个x,都有/t-x)=-〃x)(或K-X)+血)=0),则称/3)为奇函 数；对于函数冷0的定义域内的任意一个x,都有)T-x)=/(x)(或A编)设函数/S)=ln(l+x)-ln(l-x),则赤)的奇偶性是.
(2015•全国卷)若函数/(x)=xln(x+膈+妃)为偶函数，则实数口=,
(2015•淮安中学)已知函数/(x)=aln(如品Ux)+履+检，其中a,力为常数，汽1)=3, 贝顶：-1)=■
已知口为常数，+)为偶函数，则口=.
(2014•福建三明)设/(x)是定义在R上以3为周期的奇函数，且/(1)>1, fl2
2a-3
015)= Q + 1,则实数々的取值范围是.
已知g(x)是定义在R上的奇函数，且当xvO时，g(x)=-ln(),函数
x3, x < 0,
<
犬x)=〔g(” *>°•若您小2)如)，则实数X的取值范围是.
(2015•启东联考)若函数Q)同时满足：⑴对于定义域上的任意x,恒倾x)侦-
r(Xl )/(*2)
X)=0； (2)对于定义域上的任意X1，X2，当*X2时，恒有 <0,则称函数冷0
为“理想函数”.给出下列四个函数中：
] 2七1 小2, x2 0,
®fix)= X ；②Xx)=x2； ®fix)= 2A'+1；飒)=k，x<0,能被称为“理想函数”的
有.(填序号)
（2014•南京、盐城一模）若函数@）是定义在R上的偶函数，且在区间［0, +oo）上单
"）+八”如），那么，的取值范围是■
二、解答题
a
已知函数地沪疽+ x （岸0，常数a 6 R）
（1） 讨论函数Q）的奇偶性，并说明理由；
（2） 若函数/（x）在［2, +oo）上为增函数，求实数a的取值范围.
已知/（X）是定义在R上的奇函数，且当xG（-oo, 0）时，々）=-xlg（2-x）,求函数益）的 解析式.
设函数的定义域为D,若存在非零实数Z使得对于任意的xUM(MUD),有 x+/GD,且/(x+Z)孑(X),则称@)为M上的Z高调函数.
⑴如果定义域为［-1, +oo)的函数/衡)=疽为［-1, +00)上的秫高调函数，求实数秫的取值 范围；
如果定义域为R的函数就)是奇函数，当W0时，»=|^-a2|-a2,且/(x)为R上的4高 调函数，求实数a的取值范围.
三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)
-2''+3
已知定义域为R的函数冷0=歹圣 是奇函数
⑴求实数弟勺值；
判断函数益)的单调性；
若对任意的作R,不等式冷2_2$)侦zPgro恒成立，求实数涕勺取值范围.
第7课函数的奇偶性
L奇函数 【解析】显然，九x)的定义域为(-1, 1),)=ln(l- x)-ln(l +、)=顶》,所以/(x)为奇函数.
【解析】由题知尸lna+Jo + 疽)是奇函数，所以In(x+Jf2)+m(_ x+』以 + x )=ln(Q+x2-x2)=ln。=0,解得。=1.
-1【解析】已知函数/(x)=々ln(Jx +1+工)+履+*2,所以/(x)M-x)=2x2,由 爪1)=3,得及-1)=・1.
所以67=2.
Ji 2^-3 2
('****解析】因为匹2 015)顼2)胡-1)=项所以解得-1<口<§.
(-2, 1)【解析】设x>0,贝1J-，g(x)=-ln(l-x),所以g(-x)=-
x3, x < 0,
<
ln(l+x).又因为g(x)是奇函数，所以g(x)=ln(l+x)(x>0),所Un(1 + x)» *>。，其 ，函数Xx)在R上是增函数因为/(2-检)>/3),所以2-x2>x,即 -2<x<l.
(第6题)
④ 【解析】依题意，性质（1）反映函数/G）在定义域上为奇函数，性质（2）反映函
1
）=；为定义域上的奇函数，但不是定义域上的
单调减函数，其单调减区间为（-3, 0）, （0, +00）,故排除①；（DAx）=x2为定义域上
2"-1
的偶函数，排除②；况）=2'+1,定义域为R,由于y=2'+l在R上为增函数，故
-X2, x > 0,
<
函数@）为R上的增函数，排除③；④根据您沪云，、<°的图象，显然此函数为 奇函数，且在定义域上为减函数，故④为理想函数.
ln-
0+A-ln 0=2/(ln 0-于宵In
1
一,e
Le
0+A ^<2/(1) ^Xl