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a
有用标准文案
双曲线
平面内到两个定点 , 的距离之差确实定值是常数 2a(2a< )的点的轨迹。
方程
简图
范围
顶点
，
1 a2 b2
同理得到点（ -1，0）到直线 l 的距离 d ，
b(a 1)
2 a2 b2
2ab 2ab
。
s d d
a2 b2 c
1 2
由 s≥ 4 c ，得 2ab ≥ 4 c ，即5a c2 a2 2c2 。
5 c 5
于是得 5 e2 1 2e2 ，即4e4 25e2 25 0 。
5 5
4 2
解不等式，得 e2 5 。由于 e＞ 1＞0 ，所以 e 的取值范围是 e 5 。
【例 3】设 F1 、 F2 分别是双曲线 x2 y2 1 的左、右焦点，若双曲线上存在点 A ，使
a2 b2
F AF 90o ，且︱ AF1 ︱ =3 ︱ AF2 ︱，求双曲线的离心率。
1 2
解：∵ F AF 90o
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1 2
∴ AF 2 AF 2 4c2
1 2
又︱ AF1 ︱ =3 ︱ AF2 ︱，
∴ AF AF 2 AF 2a 即 AF a ，
1 2 2 2
∴ AF 2 AF 2 9 AF 2 AF 2 10 AF 2 10a2 4c2 ，
1 2 2 2 2
10
4
c
10
2 。
10
∴
a
即 e
2
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有用标准文案
题型三 直线与双曲线的位置关系
方法思路： 1、争辩双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程
Ax By C 0
组，即 ，对解的个数进展争辩，但必需留意直线与双曲线有一个公共
b2 x2 a2 y2 a2b2
点和相切不是等价的。
2、直线与双曲线相交所截得的弦长：
l 1 k 2 • x x 1 1 • y y
2 1 k 2 2 1
uuur uuur
【例 4】如图，已知两定点 F( 2,0), F ( 2,0) ，满足条件 PF PF 2的点 P 的轨
1 2 2 1
迹是曲线 E ，直线 y=kx-1 与曲线 E 交于 A、 B 两点，假设AB 6 3 ，且曲线 E 上存在点
uu uuur uuur
C ，使OA OB mOC ，求
（ 1）曲线 E 的方程；
（ 2 ）直线 AB 的方程；
（ 3）m 的值和△ABC 的面积 S。
解：由双曲线的定义可知，
曲线 E 是以 F( 2,0), F ( 2,0) 为焦点的双曲线的左支，
1 2
且 c 2 ，a=1 ，易知 b c2 a2