文档介绍：关于矩阵的分解
第一张，共四十三张，创建于2022年，星期日
L是单位下三角矩阵
U一个上三角矩阵
Gauss消元法的消元过程实际上是对线性代数方程组进行一系列初等行变换的过程。由线性代数知识知，线性代数方程
对于线性方程组
系数矩阵非奇异，经过Doolittle分解后
线性方程组可化为下面两个三角形方程组
第九张，共四十三张，创建于2022年，星期日
第十张，共四十三张，创建于2022年，星期日
上述解线性方程组的方法称为
直接三角分解法的 Doolittle分解
用Doolittle分解求解方程组
解
下面再用Doolittle分解方法求解
第十一张，共四十三张，创建于2022年，星期日
第十二张，共四十三张，创建于2022年，星期日
Doolittle分解在计算机上实现是比较容易的
但如果按上述流程运算仍需要较大的存储空间:
第十三张，共四十三张，创建于2022年，星期日
因此可按下列方法存储数据:
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直接三角分解的Doolittle分解可以用以下过程表示:
存储单元(位置)
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Doolittle分解的紧凑格式
第十六张，共四十三张，创建于2022年，星期日
Doolittle分解的结果与Gauss消元法所得结果完全一样，但却避免了中间过程。
第十七张，共四十三张，创建于2022年，星期日
设矩阵A非奇异，当且仅当矩阵A的所有顺序主子式全非零时，其Doolittle分解式存在，且分解是惟一的。
下面给出Doolittle分解存在惟一的一个充要条件
第十八张，共四十三张，创建于2022年，星期日
用紧凑格式的Doolittle分解求解方程组
解
第十九张，共四十三张，创建于2022年，星期日
第二十张，共四十三张，创建于2022年，星期日
所以
第二十一张，共四十三张，创建于2022年，星期日
用Doolittle分解求解方程组
解
直接利用Doolittle分解的紧凑格式算得
第二十二张，共四十三张，创建于2022年，星期日
第二十三张，共四十三张，创建于2022年，星期日
列选主元Doolittle分解
在Doolittle分解(包括紧凑格式)中，会反复用到公式
仍有可能是小主元做除数
为此，也要考虑在算法中加入选取列主元
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Crout 分解
L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵
第二十五张，共四十三张，创建于2022年，星期日
三、 Cholesky分解与平方根法
对称正定矩阵的三角分解（Cholesky分解）
第二十六张，共四十三张，创建于2022年，星期日
第二十七张，共四十三张，创建于2022年，星期日
因此
可以证明这种分解是唯一的
设存在另外的一个分解
则
单位下三角
单位下三角
上三角
上三角
所以：
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又因为：
即
所以：
即
则：
令：
第二十九张，共四十三张，创建于2022年，星期日
综合以上分析,
则有
为了方便我们记：
(Cholesky分解)
且该分解式唯一
这种关于对称正定矩阵的分解称为Cholesky分解
第三十张，共四十三张，创建于2022年，星期日
第三十一张，共四十三张，创建于2022年，星期日
-------------(6)
-------------(7)
-------------(8)
第三十二张，共四十三张，创建于2022年，星期日
第三十三张，共四十三张，创建于2022年，星期日
对称正定线性方程组的解法
线性方程组
-------------(10)
-------------(11)
因而线性方程组(10)可化为两个三角形方程组
-------------(12)
-------------(13)
第三十四张，共四十三张，创建于2022年，星期日
用平方根法解对称正定方程组
解
第三十五张，共四十三张，创建于2022