文档介绍：高等数学应用题（上）
1、一个星级旅馆有150个客房，经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到一些 数据：若每间客房定价为160元，住房率为55%；每间客房定价为140元， 住房率为65%；每间客房定价为120元，住房率为75%；每间客房定价坐标系原点。
记H为脚A,C与地面距离之和,
G为脚B,D与地面距离之和,
9为AC连线与X轴的夹角，
不妨设H(0)>0 , G(0)=0,(为什么?)
令
f( 9 ) = H( 6 ) - G( 6 )
则f是。的连续函数，且f(0)=H(0)>0
将方凳旋转90°，则由对称性知H( Ji /2)=0, G( Ji /2)=H(0)
从而 f( Ji /2)= -H(0) < 0
由连续函数的介值定理知，存在。6(0//2),使f(0) = 0
3、某种疾病每年新发生1000例， 1200个病人，到2005年将会出现甚麽结果？有人说，无论多少年过去，患 者人数只是趋向2000人，但不会达到2000人，试判断这个说法的正确性。
根据题意可知：下一年病人数==当年患者数的一半+,为从2000年起
计算的〃年后患者的人数，可得到递推关系模型：
Xn+1 = +1000
由X。=120。可以算出2005年时的患者数X5 =1975人.
递推计算的结果有，
Xn = £ 工。+ 2000(1 - £)•
容易看出，X"是单调递增的正值数列 且X“t200Q故结论正确.
4、某人身高2米，以5/3米/秒的速度向一高7米之街灯走去，请问：(1)此人 身影的头顶以多少速度在移动？ (2)此人身影长度的变化率为多少？
解：在时间f秒时，设此人离街灯底部为X米，此人身影头顶离街灯底部为y米，由相似三
角形定理，业=匕苴，或5y = 7x,将上式左右两边分别对£求导：5^ = 7—，但
7 2 dt dt
—= = = = 此人身影的头顶移动速率为2上米/秒。
dt 3 dt 5 dt 5\ 3J 3 3
舛， 以百田" dy dx 7 5 2 “、百亘八/ *以 2
设，=y-x为身影的长，则一 =— =-一+ - = -一，此人身影长度的变化率为-一
dt dt dt 3 3 3 3
米/秒。
5、一个半球面形的碗，半径为。厘米，正以每分钟5万。3立方厘米的稳定流量注
入水。当水的深度已达上。厘米时，试求水面上升的速率为多少？
3
1 ,
解：设水深达/?厘米时其体积为V立方厘米，则V = -7rh2(3a-h),故
dV dh
= -7i(6ah-3h2) n -=3 dV
37r(6ah-3h2)
dt
dh dt
即水面高度以每分钟9a厘
dh dV 3 - 3 , 1 n, dh. n
= 5兀a , =\h = — a 时，—=9a dV dt 7r(6ah - 3h~) 3 dt
米的速率上升
6、早晨开始下雪整天稳降不停。正午12点一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪量按 体积是常数。到下午2点的时候扫清了两英里路，到下午4点又扫清了 1英 里路，问降雪是什么时候开始的？
解：设雪从时刻砧开始下，正午记为矽。雪量为S (m/h),铲雪速度为R (