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河北省大名县2022届高三数学10月月考试题 理
一. 选择题：本大题共15小题，每题4分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1．设，，那么A∪B=〔   〕
A. {x|﹣1＜x＜分布列和数学期望E〔〕；
〔Ⅲ〕试判断这100名患者中服药者指标数据的方差与未服药者指标数据的方差的大小.〔只需写出结论〕
24. ，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，.当栓子在滑槽内作往复运动时，带动绕转动一周〔不动时，也不动〕，，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系.
〔1〕求曲线的坐标方程.
〔2〕直线与圆相切，且与曲线相交于不同的两点、，求的最大值.
25. 函数.
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〔1〕求函数在处的切线方程.
〔2〕假设是两个不相等的正数，且，试比拟与2的大小，并说明理由.
选做题〔26、27二选一〕
26. 〔选修4-4坐标系与参数方程〕在直角坐标系中，圆的方程为．
〔Ⅰ〕以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
〔Ⅱ〕直线的参数方程是〔为参数〕,与交于两点，，求的斜率．
27. 〔选修4-5 不等式选件〕常数R，函数.
〔1〕当时，求解不等式的解集；
〔2〕设函数，对任意R，不等式恒成立，求的取值范围.
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参考答案
DBADD CCDBC CCCDB
16. 17. 18. 19. 20.
21. 数列满足且.
〔1〕求的值；
〔2〕假设数列为等差数列，请求出实数；
〔3〕求数列的通项公式及前项和为.
〔1〕∵，，，.
〔2〕∵为等差数列，
∴，
，
.
(3)，
∴
，
∴
令，
，
∴，∴.
22. 如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
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〔1〕证明：平面ACD⊥平面ABC；
〔2〕过AC的平面交BD于点E，假设平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两局部，求二面角D–AE–C的余弦值.
由题设及〔1〕知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，
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由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得 .故
23. 为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成以下图，其中“*〞表示服药者，“+〞表示未服药者.
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〔Ⅰ〕从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
〔Ⅱ〕从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，，求的分布列和数学期望E〔〕；
〔Ⅲ〕试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.〔只需写出结论〕
【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕详见解析；〔Ⅲ〕在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.
【解析】
〔Ⅱ〕由图知，A,B,C,D四人中，：A和C.
所以的所有可能取值为0,1,2.
.
所以的分布列为
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0
1
2
 
故的期望.
〔Ⅲ〕在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.
24. ，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，.当栓子在滑槽内作往复运动时，带动绕转动一周〔不动时，也不动〕，，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系.
〔1〕求曲线的坐标方程.
〔2〕直线与圆相切于点，且与曲线相交于不同的两点， ，求的最大值.
〔1〕．
〔Ⅱ〕当直线垂直于轴时，由直线与圆： 相切，
可知直线的方程为，易求.
当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，
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由直线与圆相切，得，即，
将代入，整理得，
设， ，那么， ，
，
又因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立，