河海大学《数学分析》7-5.ppt

文档介绍：数学分析(下) 河海大学理学院第五节方向导数与梯度数学分析(下) 讨论函数在一点 P 沿某一方向的变化率问题. ),(yxfz一、方向导数的定义 o yx l P x y P. 引射线内有定义,自点的某一邻域在点设函数 lP PUyxP yxfz)(),( ),().( ),(,pUP l yyxxP lx上的另一点且为并设为的转角轴正向到射线设(如图) 定义定义数学分析(下) 当沿着趋于时,记P P l ),(),( lim 0yxfyyxxf若存在, 22)()(yxPP则称此极限为则称此极限为 f f在在P P( (x x, ,y y) )处沿方向处沿方向的的方向导数方向导数. .l 或存在, ),() sin , cos ( lim 0 yxfyxf记为或 . Pl f),(yxl f数学分析(下) 注注(1) (1) 方向导数方向导数与偏导数与偏导数、、的关系的关系: : l f x f y fx f),(),(yx yxx fe f x f),( ),()( yx yxx fe f数学分析(下) 所以所以存在存在),(yxx f),( ),()( yx yxe fe f(2) (2) 沿任一方向的方向导数都存在沿任一方向的方向导数都存在, , 未必偏未必偏导数存在导数存在. . 数学分析(下) 例解)0,0() sin , cos ( lim 0 )0,0( f fl z1{cos , sin } l  数学分析(下) 定理如果函数),(yxfz在点),(yxP 可微, 那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都存在, 且有 sin cos y fx fl f, 其中为x 轴到方向 L L 的方向余弦为 L =( cos φ, sin φ) 证由于函数可微,则增量可表示为)(),(),(oyy fxx fyxfyyxxf方向导数的求法: 方向导数的求法: 数学分析(下)  cos  sin )(),(),(oyy fxx fyxfyyxxf故有方向导数),(),( lim 0yxfyyxxf. sin cos y fx fl f 两边同除以,得到数学分析(下) 例1 求函数yxe z 2在点)0,1(P 处沿从点)0,1(P 到点)1,2(Q 的方向的方向导数. 解故l 的方向向量为;1 )0,1( 2)0,1( yex z,22 )0,1( 2)0,1( y xe y z 所求方向导数l z .2 2这里方向l 即为}1,1{ PQ , ).1,1(2 1l 数学分析(下) 注注(1) (1) 该定理反过来不成立该定理反过来不成立. . 例例)0,0(),(0 )0,0(),(),( 22 2yx yxyx yxyxf在在(0 , 0) (0 , 0) 处沿任一方向的方向导数都存在处沿任一方向的方向导数都存在, ,但在但在(0 , 0) (0 , 0) 不可微不可微. . (2) 该定理可推广至三元函数.