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2017年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛
暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案
（考试时间：2017年5月21日上午9：00－11：30，满分160分）
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将为 。
【答案】
【解答】由，知。
∴ ，即。
又，。
∴ ，即，解得或。
∴ ，或。
∴ 的面积。
8．若关于的方程（，）在区间上有实根，则的最小值为 。
【答案】
【解答】由知，。
∴ ，当，，时，等号成立。
∴ 的最小值为2。
9．函数的最大值为 。
【答案】
【解答】由柯西不等式知，
当且仅当，即，时等号成立。
∴ 的最大值为11。
10.、、为圆上不同的三点，且，点在劣弧内（点与、不重合），若（，），则的取值范围为
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。
【答案】
【解答】如图，连结交于点。
设，则由，得
∵ 、、三点共线，
不妨设圆的半径为1，作于，由，知。
∵ ，且点在劣弧内（点与、不重合），
∴ 。于是，。
∴ 的取值范围为。
另解：如图，以为原点，线段的垂直平分线所在直线为轴建立直角坐标系。
不妨设圆半径为2，则由，知，。
设。
则由，得
∵ 点在劣弧内（点与、不重合），
∴ 的取值范围为。
二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）
11．若数列中的相邻两项、是关于的方程（1，2，3，…）的两个实根，且。
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的通项公式及的前项的与。
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（必要时，可以利用：）
【解答】（1）依题意，由韦达定理，得，。
∴ ，即。 ……………… 5分
∴ ，，，…；与，，，…，都是公差为1的等差数列。
又，。
∴ 对，，。
即。 ……………………… 10分
（2）由（1）知，。
……………………………… 15分
……………………………… 20分
12．已知椭圆：（）过点，且离心率为。过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于、两点（、与点不重合）。求证：直线过定点，并求该定点的坐标。
【解答】依题意，有，且。
解得，。
∴ 椭圆的方程为。 …………………………… 5分
易知直线斜率存在，设方程为。
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由，得
设，，
则，。
… ………………………… 10分
由知，。
即 。
∴ 。 …………………………… 15分
由直线不过点，知。
∴ ，，直线方程化为。
∴ 直线过定点。 …………………………… 20分
13．如图，、分别是圆的切线与割线，其中为切点，为切线的中点，弦、相交于点，弦延长线上的点，满足。
求证：、、三点共线的充分必要条件是、、三点共线。
【解答一】由为圆的切线知，。
又，
∴ 。 ………………… 5分
（1）若、、三点共线。
（第13题）
设直线，交于点。
则由塞瓦定理知，。
…………………………… 10分
又点、均在直线上，因此、重合。
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∴ 、、三点共线。 ……………………………… 15分
（2）若、、三点共线。
设直线、相交于点。
则由塞瓦定理知，。
∴ ，，为的中点、重合。
∴ 、、三点共线。
由（1）、（2）可得，、、三点共线的充分必要条件是、、三点共线。
………………………………………………… 20分
【解答二】由知，、、、四点共圆。
由为圆的切线知，。
∴ 。………………… 5分
（1）若、、三点共线。
连结、、。
由为切线的中点知，
，即。
………………… 10分
又由、、、四点共圆以及知，
∴ 、、三点共线。 ………………… 15分
（2）若、、三点共线。
设直线、相交于点，则。
又，
又，
因此，为的中点，、重合。
∴ 、、三点共线。
由（1）、（2）可得，、、三点共线的充分必要条件是、、三点共线。
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………………………………… 20分
14．已知，。
（1）当时，求的最大值；
（2）判断函数零点的个数，并说明理由。
【解答】（1）当时，，。
∵ 时，，
∴ 在上为减函数。
又，
∴ 时，；时，。
∴ 在区间上为增函数，在上为减函数。
∴ 时，的最大值为。 …………