文档介绍：《线性代数及其应用》
-、行列式
1、〃阶排列，逆序数，奇（偶）排列，余子式，代数余子式
2^ 按行展开：冈=+ %耳？ ain^in ,> z' = l，2,…，〃
按列展开:|A| =⑶句 + a,jA2j + • • • + = r(A),其中 P,。可逆.
E O E
r(A) = r PAQ =优。或 A = P J
三、〃元向量空间
1、向量组的线性相关性的判断
'定义-转化为齐次线性方程组的求解
⑴证明方法一,秩-矩阵、向量组的秩(,)
基本结论
基本结论
判断向量组线性相关
充要：线性相关0其中至少有一个向量可由其余向量线性表示.
'某一个部分向量组线性相关
充分：名,线性相关<= < 向量的个数s大于向量分量的个数 a{,a2,--,as被个数少于s的向量组线性表示
判断向量组线性无关
线性无关0任何一个向量都不可由其余向量线性表示.
线性无关，P不可山线性表示，则ava2，■-,as,/3线性
无关.
一个向量组线性无关，则其任何一个部分组线性无关.
2、 等价向量组有相同的秩.
3、 子空间的验证
非空、加法和数量乘法的封闭；
生成子空间一例4. ,例4.
4、 向量组的秩及极大无关组、(线性)子空间的基与维数
写成列向量作初等行变换，确定向量组的秩与极大无关组.
对于W = £(%,%，•••，%)，则dimW =「(％,%,•••,%),即生成子空间的维数 与基就是向量组％,%,•••,%的秩与极大无关组.
5、 坐标的概念、基变换公式
坐标：y = x{a{ +x2a2 + • • • + xnan 在基ava^ - ,an下的坐标[.%,约,…，
基变换公式：•,^„) = (a1,a2,- -,a„)5
6、 欧氏空间
内积的概念、长度、正交(正交向量组必线性无关)、施密特正交化.
正交矩阵定义、性质(〃阶实矩阵4是正交矩阵的充要条件是4的列(行)向量组是
R"的一个标准正交基).
四、线性方程组(含参量、不含参量)
1、 解的情况
>(A) 3(天),无解
AX = 8 n < [= n,唯一解
r(A) = r(A)< 十工〜心
[ S，无穷多解
'|ApO,唯一解
若4是方阵，则AX=#=><顷 fr(A) = r(A),无穷多解
1 1 r(A) 3(4),无解
齐次线性方程组AX=O有非零解O r(A) < n .
若4是方阵，则齐次线性方程组4X = 0有非零解0 |A| = 0.
2、 解的结构
齐次AX = 0：
解空间N(A). dimN(A) = 〃-r(A) =基础解系所含向量的个数.
基础解系不唯一，〃 -r(A)的线性无关的解均可作为AX = 0的一个基础解系.
(2)结构式：通解=基础解系的任意线性组合.
非齐次AX = /3：
⑴非-非=齐.
⑵ 结构式：通解=特解+导出组AX= 0的通解.
五、特征值和特征向量
1、特征值和特征向量的定义、性质
（1） tr（A） = A^ + &; |A| = " At ?
（2） a与at具有相同的特征值（特征向量未必相同）;
（3）
H知
u> （A可逆）
矩阵
A