文档介绍：§10-4线性离散系统的分析
前面讨论了线性离散系统的数学模型：一种是输入输出模型，一种是状态空间模型。 本节将要根据这些数学模型来分析线性离散系统的特性，例如稳定性、能控性和能观测性。
一、稳定性
稳定性是动力学系统的一个十分重要的一要求达到的状态，则要由下列方程求出u
wcu = xl-rx0
它的解存在的条件是叱的秩为"。但要注意如果控制作用不是单输出情形，这解将不是 唯一的。
这里要对能控性定理作简要的讨论：
如果rankWc < n ,从定理看出在"步内不可能把系统从状态X。控制到X】，而且 再增加几步也不能控制到X]。例如再增加一步控制，则能控性阵的秩仍小于"，即
rank\r OF ... T OT]<h
由 Cayley-Hamiltom 定理
其中«,.(/ = 1,2,• • • 〃)是鱼的特征方程的系数。它说明鱼"是中’(，=1,2,・• — 1)的线性组 合，于是中"「与其它列之间不是线性独立的，因而并不增加能控性矩阵的秩。再增加几 步控制，结果仍是一样。因而在"步内不能达到X],而且无论用多少步控制都不可能达 到。
能控性是系统的一个结构特点。如果系统是不能控的，办法只有修改系统的结构或 结构参数。
如果要了解系统输出的能控性，而不是状态的能控性，用类似于状态能控性的定义 和定理的办法就可以得到。即如定义系统输出能控性阵
[cr cor ... co,!-T]
后，如果要把系统从任意初始输出只幻)，在有限时间内控制到任一输出K(Ai)的充分必 要条件是输出能控性矩阵的秩为m o这里机是输出向量P的维数。
[例10-18]两个质量块7叫和〃气用阻尼器〃相连，如果在一个质量块上施加外力，能 不能控制两个质量块的位置和速度？此系统如图10-18所示。
图10-18 一个机械系统
解：写出此系统的微分方程为
mxxx + ,(北i -x2) = F
m2x2 + /z(x2 - ) = 0
设m,— = c和△= f ,可写出其状态方程为 m
——
C
-C
+
T
0
_°2_
-c
C _
一吃
能控性矩阵为
Wc =
-c
其秩为2,即在F的作用下质量块阴和初2的状态丹和是完全能控的。
C
-c
0
o-
3
T
-c
C
0
0
+
0
1
0
0
0
0
x2
0
1
0
0
x2
0
利用状态方程
下面我们来判断此机械系统的位置能控性。 一
及能控性矩阵
[r or o2r
o3r]
i
0
00
c 2c2
-c -2c2
10 -c
4c2
-4c2
2c2-2c2
其秩小于4,即在F的作用下F不能控制此系统的状态勺。如果不考虑勺，则有
C
-C 0「
3
T
=
-c
C 0
V2
+
0
1
0 0
一如
0
C
[r or <u2r]-
-c1
2c2
-2c2
其秩为3,这三个状态是完全能控的。
三、能观测性
对系统()来说，如果在有限时间内，能通过观测其输入和输出值，唯一地确定系 统的初态X。，则此时