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全国大学生数学建模竞赛常用建模方法总结
邯郸学院本科毕业论文
题 目 全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨
学 生 柴云飞
指竞赛的训练和比赛，可以提高学生用数学方法解决实际问题的意识和能力，而且在培养团队精神和撰写科技论文等方面都会得到十分有益的锻炼．
竞赛题目的涉及面比较宽，有工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等．竞赛选手不一定预先掌握深入的专业知识，而只需要学过高等数学的相关课程即可，并且题目具有较大的灵活性，便于参赛者发挥其创造能力．近年来，竞赛题目包含的数据较多，手工计算一般不能实现，所以就对参赛者的计算机能力提出了更高的要求，如2003年B题，某些问题的解决需要使用计算机软件；2001年A题，问题的数据读取需要计算机技术，并且对于给出的图像，需要用图像处理的方法获得；再如2004年A题则需要利用数据库数据，数据库方法，统计软件包等等．
竞赛题目的总体特点可大致归纳如下：（1）实用性不断加强，问题和数据来自于实际，解决方法需要切合实际，模型和结果可以应用于实际；（2）综合性不断加强，解法多样，方法融合，学科交叉；（3）数据结构越来越复杂，包括数据的真实性，数据的海量性，数据的不完备性，数据的冗余性等；（4）开放性也越来越突出，题意的开放性，思路的开放性，方法多样，结果不唯一等．总体来说，赛题向大规模数据处理方向发展，求解算法和各类现代算法相互融合．
纵观历年的赛题，主要用到的建模方法有：初等数学模型、微分与差分方程建模、组合概率、数据处理、统计学建模、计算方法建模、数学规划、图论方法、层次分析、插值与拟合、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机模拟、计算机模拟法、灰色系统理论、时间序列等．
本文不一一列举竞赛题目中涉及的所有方法，只是重点讨论其中一些比较常用的方法，包括微分与差分方程建模方法、数学规划建模方法、统计学建模方法、图论建模方法，并结合案例说明建模方法的原理及应用．
微分方程与差分方程建模
在很多竞赛题目中，常常会涉及很多变量之间的关系，找出它们之间的函数关系式具有重要意义．可在许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函数关系，但可以得到含有所求函数的导数（或微分）或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程或差分方程. 建立微分方程或差分方程的数学模型是一种重要的建模方法.
如1996年A题“最优捕鱼策略”，1997年A题“零件参数设计”，2003年A题“SARS的传播”，2007年A题“中国人口增长预测”，2009年A题“最优捕鱼策略”等赛题中，都用到了这种方法．
微分方程建模
微分方程建模的原理和方法
一般来说，任何时变问题中随时间变化而发生变化的量与其它一些量之间的关系经常以微分方程的形式来表现．
例 有一容器装有某种浓度的溶液，以流量注入该容器浓度为的同样溶液，假定溶液立即被搅拌均匀，并以的流量流出混合后的溶液，试建立反映容器内浓度变化的数学模型．
解 注意到溶液浓度=，因此，容器中溶液浓度会随溶质质量和溶液体积变化而发生变化．
不妨设t时刻容器中溶质质量为，初始值为,时刻容器中溶液体积为，初始值为，则这段时间内有
， （1）
其中表示单位时间内注入溶液的浓度，表示单位时间内流出溶液的浓度，当很小时，在内有
. （2）
对式（1）两端同除以，令，则有
. （3）
即所求问题的微分方程模型．虽然它是针对液体溶液变化建立的，但对气体和固体浓度变化同样适用．
实际应用中，许多时变问题都可取微小的时间段去考察某些量之间的变化规律，从而建立问题的数学模型，这是数学建模中微分方程建模常用手段之一．
常用微分方程建模的方法主要有：
（1）按实验定律或规律建立微分方程模型．
此种建模方法充分依赖于各个学科领域中有关实验定律或规律以及某些重要的已知定理，这种方法要求建模者有宽广的知识视野,这样才能对具体问题采用某些熟知的实验定律．
（2）分析微元变化规律建立微分方程模型．
求解某些实际问题时，寻求一些微元之间的关系可以建立问题的数学模型．如例中考察时间微元，从而建立起反应溶液浓度随时间变化的模型．此建模方法的出发点是考察某一变量的微小变化，即微元分析，找出其他一些变量与该微元间的关系式，从微分定义出发建立问题的数学模型．
（3）近似模拟法．
在许多实际问题中，有些现象的规律性并非一目了然，或有所了解亦是复杂的，这类问题常用近似模拟方法来建立问题的数学模型．一般通过一定的模型假设近似模拟实际现象，将问题做某些规范化处理后建立微分方程模型，然后分析、求解，并与实际问题作比较，观察模型能