文档介绍：第五章 线性系统的稳定性分析
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项 目
内 容
教 学 目 的
掌握稳定概念，能用劳斯判据或胡尔维茨稳定判据判稳。
教 学 重 点
用劳斯判据判定系统稳定性。
教 学 难 点
两种特殊情况的判稳，劳斯判据正。
，则
证明二：
系统稳定
特征方程式所有根都位于左半平面
特征方程式各项系数均为正
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由此可见，系统稳定的必要条件是其特征方程的各项系数均为正，即
首先检查系统特征方程的系数是否都大于零，若有任何系数是负数或等于零，则系统是不稳定的。如果满足稳定的必要条件时，再使用劳斯判据判别系统是否稳定。
分析稳定性，首先分析必要条件
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2. 劳斯判据(由劳斯表判断系统的稳定性)
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2. 劳斯判据(由劳斯表判断系统的稳定性)
劳斯表
计算数据
原始数据
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五阶Routh表的列写方法举例
则Routh表为
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如果劳斯表中第一列的系数都具有相同的符号（正值），则系统是稳定的，否则系统是不稳定的。且不稳定根的个数等于劳斯表中第一列系数符号改变的次数。
(三种情况)
注意：a0>0
（1）劳斯表第一列所有系数均不为零
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2
例1：已知系统的特征方程如下,试用劳斯判据分析系统的稳定性。
解 列劳斯表
劳斯表第一列的系数符号全为正，故系统稳定。
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为简化运算，常把劳斯表的某一行同乘以以一个正数后，再继续运算。
本例中，劳斯表可按如下方法计算：
1 14 10
6 17 2
67 58 (同乘以6，实质是不除6)
791 134 （同乘以67，不除67）
36900 （同乘以791，不除791）
134
由于第一列系数的符号相同，故系统稳定。
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例2：已知系统的特征方程，试用劳斯判据判断系统的稳定性。 s4+2s3+s2+s+1=0
解 列劳斯表如下
S4 1 1 1
S3 2 1 0
S2 (2*1-1*1)/2=1/2 (2*1－1*0)/2=1
S1 (1*1-2*2)/1=-3
S0 (-3*2-1*0)/-3=2
由于劳斯表第一列的系数变号两次，一次由1/2变为－3 ，另一次由－3变为2，特征方程有两个根在S平面右半部分，系统是不稳定的。
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解特征方程求根判断稳定性：
>> s=roots([1,2,1,1,1])
s =
-
-
+
-
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(2) 劳斯表某行的第一项等于零，而本行中其余各项不全为零
方法1：当劳斯表某一行的第一项为零，而其余项不全为零，可用一个很小的正数ε(例如1*10-6 )代替第一列的零项，然后按照通常方法计算劳斯表中的其余项。
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例3：已知系统特征方程，判断系统的稳定性。
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0
劳 斯 表
s6
s5
s0
s1
s2
s3
s4
1
2
4
6
3
5
7
(6－4)/2=1
1
(10-6)/2=2
2
7
1
0
(6-14)/1= -8
-8
ε
2ε+8
7ε
-8(2ε+8) -7ε
7ε
劳斯表第一列的系数变号两次，特征方程有两个根在S平面右半部分，系统不稳定。
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例4 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性。
方法1 解： 由特征方程列出劳斯表
s4 1