复合梯形公式与复合辛普森公式对比.docx

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复合梯形公式与复合辛普森公式对比
SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY
题目名称：复合梯形公式与复合辛普森nxx给出的函数表如下，试用复合梯形公式和复合辛普森公式计算积分I=01sinxxdx。
表 21函数计算结果表
x
f(x)
0
1
1/8
1/4
3/8
1/2
5/8
3/4
7/8
1
算法推导
复合梯形公式
根据梯形公式，
将区间[a,b]划分为n等份，分点xk=a+kh,h=b-an,k=0,1,…,n，在每个子区间[xk,xk+1](k=0,1,…,n-1)上采用梯形公式，则得：
记
则Tn为复合梯形公式。
另外，复合梯形公式的余项可表示为
复合辛普森公式
根据辛普森公式
将区间[a,b]划分为n等份，在每个子区间[xk,xk+1](k=0,1,…,n-1)上采用辛普森公式。
若记
xk+1/2=xk+12h
则得
记
该公式即为复合辛普森公式。
复合辛普森公式的余项可表示为
算法框图
开始
复合梯形公式算法流程图
输入区间断点a,b及等分数n
求出步长h，各节点xk及相应的函数值f(xk),k=1,2,..n-1
各节点函数值f(xk)求和sum, k=1,2,..n-1
Tn=h2(fa+fb+sum)
输出积分值Tn
结束
图 41 复合梯形公式算法流程图
复合辛普森公式算法流程图
开始
输入区间断点a, b及等分数n
求出步长h，各节点xk，相邻节点中点xk+1/2及相应的函数值f(xk), f(xk+1/2)k=1,2,..n-1
各节点函数值f(xk)求和sum1,
各相邻节点中心点函数值f(xk+1/2)求和sum2
k=1,2,..n-1
Sn=h6(fa+fb+2sum1+4sum2)
输出积分值Sn
结束
图 42 复合辛普森公式算法流程图
MATLAB源程序
%复合梯形公式及复合辛普森积分公式
clear all;
format long;
a=0;
b=1;
n=8;
h=(b-a)/n;%步长
for i=1:n+1
x(i)=a+(i-1)*h;
if isnan(sin(x(i))/x(i))
syms t;
tmp=limit(sin(t)./t,t,x(i));%当被积函数在某点值不存在时，求其极限
y(i)=eval(tmp);
else
y(i)=sin(x(i))/x(i);%被积函数求节点的值
end
end
%复合梯形公式及复合辛普森积分公式
s1=0;
for k=2:n
s1=s1+y(k);
end
T8=h/2*(y(1)+2*s1++y(n+1))
%复合辛普森积分公式
s2=0;
s3=0;
for k=2:2:n
s2=s2+y(k);
end
for k=3:2:n-1
s3=s3