文档介绍：两类曲面积分的计算方法;
高等数学教案 ?10曲线积分与曲面积分
第十章 曲线积分与曲面积分
教学目的:
1. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
2. 掌握计算两类曲线积分的方法。
,y)]ds,cf(x,y)ds，cg(x,y)ds, 1212,,,LLL
性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L和L～ 则 12
, f(x,y)ds,f(x,y)ds，f(x,y)ds,,,LLL12
性质3设在L上f(x～ y),g(x～ y)～ 则
, f(x,y)ds,g(x,y)ds,,LL
特别地～ 有
|f(x,y)ds|,|f(x,y)|ds,,LL
二、对弧长的曲线积分的计算法
根据对弧长的曲线积分的定义～ 如果曲线形构件L的线密度为f(x～ y)～ 则曲线形构件L
的质量为
f(x,y)ds , ,L
另一方面～ 若曲线L的参数方程为
x,,(t)～ y,, (t) (,,t,,)～ 则质量元素为
22,,f(x,y)dsf[,(t),, (t)],(t),(t)dt,， ～ 曲线的质量为
高等数学课程建设组
高等数学教案 ?10曲线积分与曲面积分
,22,, , f[,(t),, (t)],(t)，,(t)dt,,
,22,,即 , f(x,y)ds,f[,(t),, (t)],(t)，,(t)dt,,L,
定理 设f(x～ y)在曲线弧L上有定义且连续～ L的参数方程为
x,,(t)～ y,,(t) (,,t,,)～
22其中,(t)、,(t)在[,～ ,]上具有一阶连续导数～ 且,,(t)，,,(t),0～ 则曲线积分f(x,y)ds存,L在～ 且
,22,, (,<,), f(x,y)dsf,[(t),,(t)],(t),(t)dt,，,,L,
证明(略)
应注意的问题: 定积分的下限一定要小于上限, ,,
讨论:
f(x,y)ds (1)若曲线L的方程为y,,(x)(a,x,b)～ 则,? ,L
提示: L的参数方程为x,x～ y,,(x)(a,x,b)～
b2, , fxydsfx,x,xdx(,),[,()]1，(),,La
(2)若曲线L的方程为x,(y)(c,y,d)～ 则f(x,y)ds,? ,,L
提示: L的参数方程为x,,(y)～ y,y(c,y,d)～
d2, f(x,y)ds,f[,(y),y],(y)，1dy, ,,Lc
(3)若曲,的方程为x,,(t)～ y,,(t)～ z,,(t)(,,t,,)～
f(x,y,z)ds则,? ,,
,222,,,提示: f(x,y,z)ds,f,[(t),,(t),,(t)],(t)，,(t)，,(t)dt, ,,,,
2yds 例1 计算～ 其中L是抛物线y,x上点O(0～ 0)与点B(1～ 1)之间的一段弧, ,L
2 解 曲线的方程为y,x (0,x,1)～ 因此
1112222,,(55,1) ydsx1(x)dx,x1，4xdx, ,，,,,L0012
例2 计算半径为R、中心角为2,的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为
高等数学课程建设组
高等数学教案 ?10曲线积分与曲面积分
,,1),
2 解 取坐标系如图所示～ 则, I,yds,L
曲线L的参数方程为
x,Rcos,～ y,Rsin, (,,,,<,),
,22222 于是I,yds,Rsin,(,Rsin,)，(Rcos,)d,,,L,,
,332,R(,sin cos), ,,,,Rsin,d,,,,
222 例3 计算曲线积分～ 其中,为螺旋线x,acost、y,asint、z,kt上相应(x，y，z)ds,,
于t从0到达2,的一段弧,
2222222 2 2 解 在曲线,上有x，y，z,(a cos t)，(a sin t)，(k t),a，kt～ 并且
22222 ～ ds,(,asint)，(acost)，kdt,a，kdt
2,22222222于是 (x，y，z)ds ,(a，kt)a，kdt,,,0
222222,,a，k(3a，4,k) , 3
小结: 用曲线积分解决问题的步骤:
(1)建立曲线积分,
(2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程) ～ 确定参数的变化范围,
(3)将曲线积分化为定积分,
(4)计算定积分,
?10, 2 对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
变力沿曲线所作的功:
设一个质点在xOy面内在变力F(x～ y),P(x～ y)i，Q(x～ y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L