文档介绍：立体几何中的向量方法
高考定位 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上．
[真题感悟]
(201立体几何中的向量方法
高考定位 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上．
[真题感悟]
(2019·新课标全国卷Ⅰ)如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.
(1)证明：AC＝AB1；
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A­A1B1­C1的余弦值．
(1)证明 连接BC1，交B1C于点O，连接AO.
因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点．
又AB⊥B1C，AB∩BO＝B，所以B1C⊥平面ABO.
由于AO⊂平面ABO，故B1C⊥AO.
又B1O＝CO，故AC＝AB1.
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[考点整合]
1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，ν＝(a3，b3，c3)，则
(1)线面平行
l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
【训练1】 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点，求证：
(1)DE∥平面ABC；
(2)B1F⊥平面AEF.
证明 如图建立空间直角坐标系
A－xyz，不妨设AB＝AA1＝4，
则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，
B(4,0,0)，B1(4,0,4)．
热点二 利用空间向量求空间角
[微题型1] 求线面角
【例2－1】 (2019·福建卷)在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．
(1)求证：AB⊥CD；
(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．
(1)证明 ∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，
AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.
又CD⊂平面BCD，
∴AB⊥CD.
规律方法 (1)利用面面垂直时，要注意通法和严谨性，先找出交线，再判断交线的垂直，才能得到线面垂直；(2)利用向量法求线面角时，直线所在向量与法向量所成夹角的余弦值恰为线面角的正弦值．
[微题型2] 求面面角
【例2－2】 (2019·河南十所名校联考)如图，在几何体ABCDEF中，△ABC，△DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED为正方形，且所在平面垂直于平面ABC.
(1)证明：平面ADE∥平面BCF；
(2)求二面角D－AE－F的正切值．
(1)证明 取BC的中点O，ED的中点G，连接AO，OF，FG，⊥BC，又平面BCED⊥平面ABC，所以AO⊥平面BCED，同理FG⊥平面BCED，所以AO∥FG，又易得AO＝FG，所以四边形AOFG为平行四边形，所以AG∥OF，又DE∥BC，所以平面ADE∥平面BCF.
规律方法 二面角平面角余弦与二面角两平面法向量夹角的余弦绝对值相等，其正负可以通过观察二面角是锐角还是钝角进行确定．
【训练2】 (2019·广东卷)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.
(1)证明：CF⊥平面ADF；
(2)求二面角D－AF－E的余弦值．
热点三 利用空间向量解决立体几何中的探索
性问题[微题型1] 以位置关系为已知条件探索点的位置
【例3－1】 如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．