文档介绍:高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究
汤凤 摘 要:圆锥曲线知识是高中数学的重要内容,对提高学生的解题能力、锻炼学生的逻辑思维、培养学生的创新精神等具有积极的促进作用。然而,圆锥曲线向来是高中数学教学中的难点,很多学生对其存在而且培养了学生的合作精神和团队意识,有利于他们走出校门后更好地适应社会。
三、 圆锥曲线题目的解题技巧
(一)重视曲线定义,巧妙解决最值问题
学生学习圆锥曲线的知识,第一步就是学习圆锥曲线的定义,很多学生认为定义很简单,不值得推敲,却不知最简单的最容易被忽略,也容易成为出题人的常考内容,很多看似复杂的最值问题利用定义就可以巧妙地解决。因此,教师应该引导学生重视定义,夯实基础知识。
【例1】 已知椭圆x2/16+y2/4=1上某一点Q到椭圆两个焦点的距离之积为q,求q的最大值,并求此时Q点的坐标。
分析:此题求Q点到两焦点的距离之积,根据椭圆的第一定义和不等式的基本性质,可以转化为两个距离之和,进而求解。
解:设椭圆x2/16+y2/4=1的左焦点为F1,右焦点为F2。
则|QF1|+|QF2|=2a=8,q=|QF1||QF2|≤((|QF1|+|QF2|)/2)2=16
当且仅当|QF1|=|QF2|时,等号成立,此时点Q为短轴的端点。 所以此时Q的坐标为(0,2)或(0,-2),m能够取到的最大值为16。
题目考查了圆锥曲线的最值问题,再加上出现了圆锥曲线的焦点,所以应该迅速想到应用圆锥曲线的定义。题目所求为动点到两焦点的距离之积,就应该联想到距离之和为定值,再利用不等式的性质进行转化,就可以成功地解决这道问题。
(二)运用设而不求法,解决弦中点问题
在圆锥曲线的运算中,经常设出一些量却并不解出这些量,只是发挥它们的过渡作用从而解决一些较为复杂的问题,这种方法就是“设而不求法”了。对于圆锥曲线与直线相交而产生的弦中点问题,采用设而不求法能起到出人意料的效果。
【例2】 已知双曲线x2+y2/2=1,过点A(4,2)的直线与该双曲线相交于两点M1和M2,已知线段M1M2的中点为M,求M的轨迹方程。
分析:采用设而不求法,设出两点坐标(x1,y1)和(x2,y2)并分别代入方程,然后相减,再应用中点关系和斜率公式,消参求解。
解:设M1(x1,y1),M2(x2,y2),分别代入得到x21+y21/2=1,x22+y22/2=1
两个方程相减,得到(x1+x2)(x1-x2)-1/2(y1+y2)(y1-y2)=0
又设中点M(x,y),于是x1+x2=2x,y1+y2=2y,得到2x-y*((y1-y2)/(x1-x2))=0,(x1≠x2)
又k=(y1-y2)/(x1-x2)=(y-2)/(x-4)
将其代入得到2x2-y2-8x+2y=0
当x1=x2,即弦M1M2的斜率不存在时,M(4,0)也满足上述方程。
因此所求轨迹方程为2x2-y2-8x+2y=0
此題求M的轨迹方程,而M是弦M1M2的中点,于是迅速反应过来这是一道弦中点问题,只要按部就班地按照设而不求法的步骤,设出弦的两个端点坐标,并将端点坐标代入双曲线方程,作差后产生弦中