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课时跟踪检测 〔十八 〕
任意角和弧度制及任意角的三角函数
1．将表的分针拨快
10 分钟,就分针旋转过程中形成的角的弧度数是
〔
l＝2,
故扇形的圆心角的弧度数是 4 或 1.
r＝2.
3．选 B ∵|OM |＝ 3 2＋ －5 2＝ 34,
∴ sin α＝|OM |＝ y －5
34＝－5 34 . 34
3π π θ 3π
4．选 B 由于 θ 是第三象限角,所以 2kπ＋π <θ<2kπ＋ 2 〔k∈Z 〕, kπ＋2< 2<kπ＋ 4 〔k∈
Z〕；又 cosθ 2＝－ cosθ 2,
所以 cosθ 2≤0,从而 2kπ＋ π 2< θ
2<2kπ＋
3π
4 〔k∈Z〕,即
θ
2是其次象限角．
5．选 B 由已知得 〔sin θ－cos θ〕 2>1,1－2sin θcos θ>1,sin θcos θ<0,且 sin θ>cos θ,因
此 sin θ>0>cos θ,所以角 θ 的终边在其次象限．
6．选 D
由于角 α 和角 β 的终边关于直线
y＝x 对称,所以
α＋β＝2kπ＋
π
2〔k∈Z 〕,又 β
＝－ π 3,所以 α＝2kπ＋5π 6 〔k∈Z〕,
即得 sin α＝1 2.
7．解析： 由题意知,角
α 是其次象限角,
∴sin α>0,cos α<0.
∴|sin α| sin α －|cos α| cos α＝ 1－〔－1〕＝2.
答案： 2
8．解析： 由于 β 的终边所在直线经过点
P cos 4,sin3π 4,所以 β 的终边所在直线为 3π
y
＝－ x,就 β 在其次或第四象限．
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所以 sin β＝
2
2或－
2
2,tan β＝－ 1.
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答案：
2
2或－
2
－1
2
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9．解析： 由题图知
sin α＝3 5
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cos α＝－4 5.∴cos α－sin α＝－ 7 5.
,又点 A 在其次象限,故
答案： －7
5
10．解： 设圆的半径为 r cm,
弧长为 l cm,
就
1
2lr ＝1,
解得
r＝1,
l＝2.
l＋2r＝4,
∴圆心角 α＝l r＝2.
如图,过 O 作 OH ⊥AB 于 H.
就∠ AOH＝1 弧度．
∴AH＝1·sin 1＝sin 1〔cm〕 ,
∴AB＝2sin 1〔cm〕 ．
11．解： 〔1〕∵ r＝ x 2＋5,∴ cos α＝
x 2＋ 5
x ,
从而 4 x＝ 2
x 2＋5
x ,
解得 x＝0 或 x＝± 3.
∵90°<α<180° ,
∴x<0,因此 x＝－ 3.
故 r＝ 2 2,sin α＝
2
5
2 ＝ 4, 10
tan α＝－
5
3 ＝－ 3 . 15
〔2〕∵θ 的终边过点 〔x,－ 1〕,
∴tan θ＝－1,
x
又 tan θ＝－ x,∴ x 2＝1,∴ x＝±1.
当 x＝1 时, sin θ＝－ 2,cos 2 θ＝ 2； 2
当 x＝－ 1 时, sin θ＝－ 2,cos θ＝－ 2
2 .
2
12．解： ∵角 α 的终边在直线 3x＋4y＝0 上,
∴在角 α 的终边上任取一点 P〔4t,－ 3t〕〔t≠ 0〕,
就 x＝4t,y＝－ 3t,
名师归纳总结
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r＝
x
2＋y2＝
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4t2＋ －3t2＝ 5|t|,
当 t>0 时, r＝5t,
y －3t
sin α＝r＝ 5t＝－ 3 5,
cos α＝x r＝4t 5t＝4 5,
y －3t
tan α＝x＝ 4t＝－ 3 4；
当 t<0 时, r＝－ 5t,sin α＝y r＝－3t
－5t＝3 5,
cos α＝x r＝ 4t－5t＝－ 4 5,
y －3t
tan α＝x＝ 4t＝－ 3 4.
综上可知, sin α＝－3 5, cos α＝4 5,tan α＝－ 3 4；
或 sin α＝3 5,cos α＝－ 4 5, ta