关于二次函数最值问题的讨论.doc

文档介绍：1 关于二次函数的最值问题的讨论学生姓名: xxx 指导教师: xxx 摘要: 本文讨论了一元二次函数与二元二次函数的最值问题, 首先研究了一元二次函数在闭区间上的最值问题, 讨论了在四种不同情况下函数的单调区间及最值的变化, 其次研究了运用构造法解决二次函数最值问题, 详细给出了构造两点间的距离、构造斜率、构造点到直线的距离、构造直线方程以及构造圆锥曲线的方法以及所要注意的细节. 关键词: 二次函数最值构造法在生产实践及科学中, 常常遇到“最好”、“最省”、“最大”、“最小”等问题, 例如如何进行资源调动, 才能使成本最小, 利润最大; 怎样规划建筑蓝图, 才能使材料使用最少, 空间占用最大等等, ,更重要的是用理论来服务现实, 因此更要透彻的掌握理论, 掌握其求解方法. 求函数最值的方法灵活多样且综合性强, 选择正确的方法进行求解很重要, 几何图形作为研究函数性质的一个重要辅助工具, 能直观的反应函数本身的特性, 使函数形象化, 对于某些最值问题利用几何方法求解会更加简捷形象. 许多的数学问题都隐含着“形”方面的信息, 如果能充分利用这个“形”把复杂的数学问题变为简单的几何问题,便可使问题轻松获解. 一、一元二次函数在闭区间上的最值问题一元二次函数的一般形式为)0()( 2acbx ax xf , 所表示的图形是一条抛物线, 我们可以通过分析函数在区间内的单调性来分析最值是否存在,若存在在什么情况下取得最大值或最小值. 1 、轴定区间定(对称轴及定义域不变) 对函数)0()( 2acbx ax xf 在],[nm 上的最值问题有三种情况(此时抛物线开口向上): 第一种情况: 若对称轴在区间内,即),(2 nma b, 则在)2 ,[a bm上)(xf 是减函数,在],2 [na b上)(xf 是增函数,如图 1 ,故)(xf 的最小值为)2 (a bf,最大值为)(mf 与)(nf 中较大的一个. 第二种情况: 若对称轴在区间左侧,即a bm2 , 则在],[nm 上)(xf 是增函数,故)(xf 的最小值为)(mf ,最大值为)(nf . 第三种情况: 若对称轴在区间右侧,即 a bn2 ,则在],[nm 上)(xf 是减函数,故)(xf 的最小值为)(nf ,最大值为)(mf .2 对函数)0()( 2acbx ax xf 在],[nm 上的最值问题也有三种情况( 此时抛物线开口向下): 第一种情况: 若对称轴在区间内,即),(2 nma b, 则在)2 ,[a bm上)(xf 是增函数,在],2 [na b上)(xf 是减函数,如图 2 ,故)(xf 的最大值为)2 (a bf,最小值为)(mf 与)(nf 中较小的一个. 图1图2 第二种情况: 若对称轴在区间左侧,即a bm2 , 则在],[nm 上)(xf 是减函数,故)(xf 的最大值为)(mf ,最小值为)(nf . 第三种情况: 若对称轴在区间右侧,即 a bn2 ,则在],[nm 上)(xf 是增函数,故)(xf 的最大值为)(nf ,最小值为)(mf . 2、轴定区间动例1 求函数 34)( 2xxxf 在]3,[aa