文档介绍：五章蒙特卡罗方法在计算机上的实现
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第五章 蒙特卡罗方法在计算机上的实现
蒙特卡罗方法是随着计算机的出现和发展而逐步发展起来的。在计算机上能够产生符合要求的随机数，实现对已知分布的抽样或其他介质密度与位置有关的问题，在求 ( i =1，2，…，Imax ) 时，如果系统形状复杂，计算是非常烦杂的。在这种情况下，使用最大截面法更方便。最大截面抽样方法为：
其中
≤
＞
限制抽样法
当介质区域很小时，如使用直接抽样法抽取输运长度，粒子很容易穿出介质，此时使用限制抽样法确定自由程个数ρ较好，ρ的分布密度函数为：
其中 Dm 为粒子由rm 出发，沿Ωm 方向到达区域边界的自由程个数。ρ的抽样方法是：
然后用直接抽样法中根据ρ计算 L 的方法计算输运长度 L 。此时，粒子的权重需乘以纠偏因子 。
碰撞后能量Em+1的随机抽样
粒子在介质中发生碰撞后，首先要确定与哪种原子核发生何种反应。粒子发生碰撞后（吸收除外）的能量 Em+1 一般只与其碰撞前后运动方向的夹角（散射角）有关。
粒子碰撞后常见的能量分布有下面几种情况。
裂变中子谱
中子引起原子核裂变反应时，裂变中子的能量服从裂变谱分布。其抽样方法可参考以前的介绍。
中子弹性散射后能量的确定
中子弹性散射后，能量与质心系散射角θC的关系是：
能量与实验室系散射角θL的关系是：
其中，A 为碰撞核的质量， 。
或 确定后，即可求出 Em+1。
中子非弹性散射后能量的确定
中子非弹性散射后，能量与质心系散射角θC的关系是：
其中， 为第 K 个能级的阈能， 为第 K 个能级的激发态能量。
如果确定了实验室系散射角θL，则根据下式
确定 后，再计算出 Em+1。
光子康普顿（Compton）散射后能量的确定
光子发生康普顿散射后，其能量分布密度函数为：
其中， K(α) 为归一因子。
， 和 分别为光子散射前后的能量，以 m0c2 为单位，m0为电子静止质量，c 为光速。
光子康普顿散射能量分布的抽样方法为：
x 的抽样确定后，散射后的能量为：
＞
＞
＞
≤
≤
≤
碰撞后散射角的随机抽样
粒子碰撞后运动方向Ωm+1的确定，一般与散射角有关。由已知分布抽样确定散射角后，再确定Ωm+1。常见的散射角分布有如下几种：
质心系各向同性分布
散射角在质心系服从各向同性分布时，其抽样方
法为 。质心系散射角θC抽样确定后，
需转换成实验室系散射角θL。
在中子弹性散射情况下，转换公式为：
其中 A 为碰撞核质量， 。
在中子非弹性散射情况下，转换公式为：
其中， 为第 K 个能级的阈能。
中子弹性散射勒让德 (Legendre) 多项式分布
中子弹性散射角分布常以勒让德多项式的展开形式给定。散射角余弦 x＝cosθ的分布密 度函数为：
其中 Pl(x) 为 l 阶勒让德多项式。
该分布即为 n 阶勒让德近似展开。
勒让德多项式由以下递推公式确定：
考虑新的分布：
当选取 x0，x1，… xn 为 Pn+1(x)＝0 的根，且
时，fa(x) 依照勒让德多项式展开的前 n 项与 f (x) 的展开形式相同。因此，可以用 fa(x) 作为 f (x) 的近似分布。
在实际问题中，由于勒让德多项式展开项数不够，可能出现某个 为负值的现象。此时可以采用如下近似分布：
其中：
对于该近似分布，可用加抽样方法进行抽样：
此时，由于偏倚抽样而引起的纠偏因子为 wK ，也就是说，粒子的权重要乘上wK。
光子康普顿散射角分布
光子的康普顿散射角与其散射前后的能量有关 , 它的分布密度函数为：
抽样方法为：
碰撞后运动方向Ωm+1的确定
实验室系散射角θL确定后，依据不同的坐标系的表现形式，有不同的确定方法。
确定方向余弦 um+1，vm+1，wm+1
其中，
方位角 在 [0, 2π] 上均匀分布。
当 时，不能使用上述公式，可用下面的简单公式：
确定Ωm+1的球坐标 (θm+1