文档介绍：07-06-直线与圆的位置关系
07-06 直线与圆的位置关系
点一点——明确目标
掌握直线与圆的位置关系的几何条件和代数条件，能对直线和圆的位置关系进行判断.
做一做——热身适应
1.[2023年上海理,2]圆的圆心是〕2=+.
圆心为〔－，－〕，代入方程x－y－4=0，得λ=－7.
故所求圆的方程为〔x+〕2+〔y+〕2= .
评述：圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，假设圆C1、C2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为〔x2+y2+D1x+E1y+F1〕+λ〔x2+y2+D2x+E2y+F2〕=0〔λ∈R且λ≠－1〕.它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆.
特别提示
在过两圆公共点的图象方程中，假设λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程.
【例3】 圆C：〔x－1〕2＋〔y－2〕2＝25，直线l：〔2m+1〕x+〔m+1〕y－7m－4=0〔m∈R〕.
〔1〕证明：不管m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
〔2〕求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.
〔1〕证明：l的方程〔x+y－4〕+m〔2x+y－7〕=0.
得
∵m∈R，∴
2x+y－7=0， x=3，
x+y－4=0， y=1，
即l恒过定点A〔3，1〕.
∵圆心C〔1，2〕，｜AC｜＝＜5〔半径〕，
∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.
〔2〕解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－，
∴l的方程为2x－y－5=0.
评述：假设定点A在圆外，要使直线与圆相交那么需要什么条件呢？
思考讨论
求直线过定点，你还有别的方法吗？
【例4】 ⊙O方程为x2+y2=4，定点A〔4，0〕，求过点A且和⊙O相切的动圆圆心的轨迹.
剖析：两圆外切，连心线长等于两圆半径之和，两圆内切，连心线长等于两圆半径之差，由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件，然后将这个几何条件坐标化，即得到它的轨迹方程.
解法一：设动圆圆心为P〔x，y〕，因为动圆过定点A，所以|PA|即动圆半径.
当动圆P与⊙O外切时，|PO|=|PA|+2；
当动圆P与⊙O内切时，|PO|=|PA|－2.
综合这两种情况，得||PO|－|PA||=2.
将此关系式坐标化，得
|－|=2.
化简可得〔x－2〕2－=1.
解法二：由解法一可得动点P满足几何关系
||OP|－|PA||=2，
即P点到两定点O、A的距离差的绝对值为定值2，所以P点轨迹是以O、A为焦点，2为实轴长的双曲线，中心在OA中点〔2，0〕，实半轴长a=1，半焦距c=2，虚半轴长b==，所以轨迹方程为〔x－2〕2－=1.
练一练——稳固提高
1.〔2023年春季北京，11〕假设圆x2+y2+mx－
=0与直线y=－1相切，且其圆心在y轴的左侧，那么m的值为____________.
解析：圆方程配方得〔x+〕2+y2=，圆心为〔－，0〕.
由条件知－<0，即m>0.
又圆与直线y=－1相切，那么0－〔－1〕=，即m2=3，∴m=.
答案：
2.〔2023年福建，13〕直线x+2y=0被曲线x2+y2－6x－2y－15=0所截得的弦长等于____________.
解析：由x2+y2－6x－2y－15=0，得〔x－3〕2+〔y－1〕2=25.
知圆心为〔3，1〕，r=5.
由点〔3，1〕到直线x+2y=0的距离d==.
可得弦长为2，弦长为4.
答案：4
〔x－3〕2＋〔y+5〕2＝r2上有且只有两个点到直线4
x－3y=2的距离等于1，那么半径r的范围是
A.〔4，6〕 B.［4，6〕 C.〔4，6］ D.［4，6］
解析：数形结合法解.
答案：A
4.〔2023年春季北京〕直线ax+by+c=0〔abc≠0〕与圆x2+y2=1相切，那么三条边长分别为｜a｜、｜b｜、｜c｜的三角形
解析：由题意得=1，即c2=a2+b2，∴由｜a｜、｜b｜、｜c｜构成的三角形为直角三角形.
答案：B
〔－3，3〕发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程.
解：圆〔x－2〕2＋〔y－2〕2＝1关于x轴的对称方程是〔
x－2〕2＋〔