文档介绍：10-2细长压杆的临界力
实验指出，压杆的临界力与两端的支承情况有关。本节先研究两端铰支细长压杆的临界力。
(一)两端钗支细长压杆的临界力
设计两端为球铰约束，杆长L，选坐标系如图10-4(a)所示，杆的最小抗弯刚度EI =
min
10-2细长压杆的临界力
实验指出，压杆的临界力与两端的支承情况有关。本节先研究两端铰支细长压杆的临界力。
(一)两端钗支细长压杆的临界力
设计两端为球铰约束，杆长L，选坐标系如图10-4(a)所示，杆的最小抗弯刚度EI =
min
EIz (简写为EI)。
根据前面所述，当轴向压力P 增大至临界值PLj时，压杆的直线 形状平衡将由稳定开始变为不稳 定；此时，在轻微的横向干扰力撤 去后，它将在微弯状态下保持平 衡。因此，又可认为临界力是压杆 在微弯状态下保持平衡的最小轴 向压力。可见，欲研究临界力，应 从微弯状态的挠曲线入手。由第七 章知，当杆内应力不超过比例极限
ap时，压杆挠曲线方程y=y(x)应满足下述关系式
d2y _M(x) dx 2 EI
由图10-4(b)知，压杆任一 x截面的挠度为y，弯距为
M (x) = — Py
故该杆的挠曲线近似微分方程为
竺 + £y = 0 dx2 EI
(a)
令
k 2 = P
EI
(b)
则(a)式改为
性 + k 2 y = 0 dx2
(c)
该方程的通解为
y = A sin kx + B cos kx
(d)
式中，积分常数A、B以及k (含临界力P)均为未知数，其值应由压杆的位移边界条件和变 形状态确定。
两端铰支压杆的位移边界条件为
在 x=0 处，y=0 (e)
在 x=L 处，y=0 (f)
将条件(e)(f)分别代入式(d),得
A • 0 + B ・1 = 0 （g）
及 A • sin kL + B • cos kL = 0 （h）
式（g）和（h）为未知量A和B的二元线性齐次方程组。若A与B均为零，则与推导临界力 的前提条件（微弯状态）不符。欲使A、B不同是为零（即非零解），则其系数行列式必等
于零，记为:
D(k )=
sin kL
1
cos kL
可以将D（k）=0，称为细长轴向受压杆的临界了特征方程。展开此方程可求解临界力，即由
sin kL = 0
得 kL = n冗,(n = 0,1,2,3, •••)
（j）
将（b）式代入上式得
(k)
n 2 兀 2 EI ~~L
由于n是0,1,2,3，…等正整数中的任一整数，故（k）式表示：使压杆在弯曲状态下平衡 的压力，在理论上是多值的。根据临界力是使压杆失稳的最小轴向压力这一概念，可见，应 取n=1 （若取n=0，则P=0，与讨论的前提不符），代入式4）得
P
Lj
兀2 EI
L
(10-1)
上式为两端球铰的细长压杆的临界力公式，又称欧拉公式。由上式可知，临界力PLj与杆的 抗弯刚度EI成正比，与杆长L的平方成反比。这就是说，杆愈细长，其临界力愈小，愈容 易失稳。
上面从压杆处于微弯状态的挠曲线近似微分方程出发，推导出了两端球铰的细长压杆临 界力公式。下面再补充讨论几个问题。
为了求出使压杆失稳的最小压力，对于球铰约束压杆，即当各方向约束性质均相同