文档介绍：. 引言一般三次方程的解法的思路是化为缺项的三次方程,再作变换转换为二次方程来求解。一般四次方程的解法也是转换为缺项的四次方程,再将缺项的四次方程转换为三次方程后,再求出四次方程的根。我在本论文中首先提出一元三次方程的定义和一般形式与一元四次方程的定义和一般形式,然后详细地讨论一元三次,一元四次方程的基本解法,最后根据该解法解出给定举例的根。 1 .一元三次方程的解法定义:: 3 2 0 ax bx cx d ,0a 形如 30 x px q 的一元三次方程的解法. 设有方程 30 x px q (1) 我们令 x u v ,并代入方程( 1)得 30 u v p u v q 展开并整理得到 3 3 3 0 u v q uv p u v (2) 为了减少( 2)中的未知数,不妨设 3 0 3 p uv p uv 从而( 2)变为 3 3 3 0 0 uv p u v q 即 3 3 3 3 327 u v q p u v 根据伟大定理可知 3 3 , u v 是二次方程. 32027 p y qy 的两个根,解这个二次方程得 2 3 3 2 3 3 2 4 27 2 4 27 q q p u q q p v 从而有 2 3 31 2 4 27 q q p u , 2 1 u u , 3 1 u u 2 3 31 2 4 27 q q p v , 2 1 v v , 3 1 v v 其中 1 3 2 i , 1 3 2 i 因此方程 30 x px q 三个解的公式是: 2 3 2 3 3 3 1 1 1 2 4 27 2 4 27 q q p q q p x u v 2 3 2 2 3 3 3 2 2 3 1 1 2 4 27 2 4 27 q q p q q p x u v u v 2 3 2 2 3 3 3 3 3 2 1 1 2 4 27 2 4 27 q q p q q p x u v u v 这个公式叫做卡丹( cardano )公式. 这里 x u v 中u 与v 各有 3 个值,因此 x u v 共有 9 个值,但是其中, u v 的三个值满足条件 3 puv ,所以原方程只有三个解 1 2 3 , , x x x . 如: 2 3 2 3 2 2 3 3 3 1 1 2 4 27 2 4 27 4 4 27 3 q q p q q p q q p p u v 1 1 1 x u v 又如: 2 33 p u v , 2 33 p u v 其中 6个值不满足条件 3 puv . . 下面讨论根的情况: 由以上可得一元三次方程的判别式: 2 3 4 27 q p D . 并且可知 D 决定了根的性质: (1 )当 0D时, 3 3 , u v 是不相等的两个实数,原方程( 1 )有一个实根和两个共轭虚根,即 2 3 2 3 3 3 1 1 1 2 4 27 2 4 27 q q p q q p x u v