集合的概念与表示法.ppt

文档介绍：关于集合的概念与表示法
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第一张，共八十二张，创建于2022年，星期一
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集合的概念与表示法
集合的概念
集合作为数学的一个基本而又简单的原始概念，是不能精确定义的。一般我们把是A的真子集。
需要指出的是，∈与表示元素和集合的关系，而、与＝表示集合和集合的关系。
例如，若A＝{0，1}，B＝{0，1，{0，1}}，则AB且AB。
设A、B和C是三个集合，则
(1)(AA)。 (2)AB(BA)。
(3)AB∧BCAC。
第九张，共八十二张，创建于2022年，星期一
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证明 仅证(2)和(3)
(2)ABx(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA)x(xA∨x∈B)∧x(x∈B∧xA)
x(x∈A∧xB)∧x(xB∨x∈A)x(x∈A∧xB)∨x(x∈A∨xB)
(x(x∈A∧xB)∧x(x∈A∨xB))(x(x∈A∧xB)∧x(x∈B→x∈A))
(BA)。
(3)AB∧BC(x(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA))∧(x(x∈B→x∈C)∧x(x∈C∧xB))
x(x∈A→x∈B∧x∈B→x∈C)∧(x(x∈B∧xA)∧x(x∈C∧xB))
x(x∈A→x∈C)∧(x(x∈C∧xA)AC。
第十张，共八十二张，创建于2022年，星期一
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空集、集族、幂集和全集
没有任何元素的集合称为空集，记作。以集合为元素的集合称为集族。
例如，{x|x≠x}是空集；{x｜x是某大学的学生社团}是集族。
空集是任何集合的子集。
证明 任给集合A，则Ax(x∈→x∈A)。由于x∈是假的，所以x(x∈→x∈A)为真，于是有A为真。
推论 空集是惟一的。
对于任一集合A，我们称空集和其自身A为A的平凡子集。
第十一张，共八十二张，创建于2022年，星期一
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特别要注意与{}的区别，是不含任何元素的集合，是任意集合的子集，而{}是含有一个元素的集合。
一个集合A的所有子集组成的集合称为A的幂集，记作P(A)或2A。
例1 求幂集P()、P({})、P({，{}})、P({1，{2，3}})。
解 P()＝{}
P({})＝{，{}}
P({，{}})＝{，{}，{{}}，{，{}}}
P({1，{2，3}})＝{，{1}，{{2，3}}，{1，{2，3}}}。
第十二张，共八十二张，创建于2022年，星期一
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若|A|＝n，则|P(A)|＝2n。
证明 因为A的m个元素的子集的个数为Cnm，所以|P(A)|＝Cn0＋Cn1＋…＋Cnn＝2n。
设A和B是两个集合，则：
(1)B∈P(A)BA。
(2)ABP(A)P(B)。
(3)P(A)＝P(B)A＝B。
(4)P(A)∈P(B)A∈B。
(5)P(A)∩P(B)＝P(A∩B)。
(6)P(A)∪P(B)P(A∪B)。
第十三张，共八十二张，创建于2022年，星期一
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所要讨论的集合都是某个集合的子集，称这个集合为全集，记作U或E。
全集是一个相对的概念。由于所研究的问题不同，所取的全集也不同。例如，在研究整数间的问题时，可把整数集Z取作全集。在研究平面几何的问题时，可把整个坐标平面取作全集。
第十四张，共八十二张，创建于2022年，星期一
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有限幂集元素的编码表示
为便于在计算机中表示有限集，可对集合中的元素规定一种次序，在集合和二进制之间建立对应关系。设U＝{a1，a2，…，an}，对U的任意子集A，A与一个n位二进制数b1b2…bn对应，其中bi＝1当且仅当ai∈A。对于一个n位二进制数b1b2…bn，使之对应一个集合A＝{ai|bi＝1}。
例如，若A＝{a，b，c}，则A的幂集为P(A)＝{Ai|i∈J}，其中J＝{i|i是二进制数且000≤i≤111}，其中A000＝，A011＝{b，c}等。
一般地P(A)＝{Ai|i∈J}，其中J＝{i|i是二进制数且
≤i≤ }。
第十五张，共八十二张，创建于2022年，星期一
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集合的运算与性质
集合的交、并、补
设A和B为两个集合，A和B的交集A∩B、并集A∪B分别定义如下：
A∩B＝{x|x∈A∧x∈B}
A∪B＝{x|x∈A∨x∈B}
显然，A