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2021年普通高等学校招生全国统一考试 (江苏卷）
数学Ⅰ
注意事项
绝密★启用前
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题,共20题）。本卷总分值为160分棱锥中，平面平面，,。 过作，垂足为，点,分别是侧棱,的中点.
求证：(1) 平面平面;
（2) .
解：(1)分别是侧棱的中点
在平面中，在平面外
平面
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为中点
在平面中,在平面外
平面
和相交于
在平面中
平面平面
(2) 平面平面
为交线
在中，
平面
和相交于
在平面中
平面
17。 （本小题总分值14分）
如图,在平面直角坐标系中，点,,圆心在上。
（1） 假设圆心也在直线上，过点作圆的切线,求切线的方程;
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（2） 假设圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围。
解：（1）
①和②联立得到圆心坐标
圆方程为
切线斜率不存在时，不合题意
设切线方程为
解得或
切线方程为或
(2）设
那么圆方程为
设
由题意
即
存在
圆和圆有交点
即两圆相交或相切
即
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18。 (本小题总分值16分)
如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种途径. 一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到。
现有甲、乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为50m/min. 在甲出发2min后,乙从乘缆车到，在处停留1min后,再从匀速步行到。 假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路长为1260m,经测量,,.
（1) 求索道的长；
（2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上和甲的间隔 最短？
（3） 为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
解：（1)
（2）
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设乙出发分钟后，甲到了处，乙到了E处
那么有
根据余弦定理
即
当时，有最小值
设甲所用时间为，乙所用时间为，乙步行速度为
由题意
解不等式得
19。 （本小题总分值16分）
设是首项为，公差为的等差数列,是其前项和。 记，，其中为实数.
（1) 假设，且，，成等比数列,证明:;
（2) 假设是等差数列，证明：。
解：
（1）
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时，
成等比
（2）
由
是等差数列
设（k，b为常数）
有对任意恒成立
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此时
命题得证
20. （本小题总分值16分）
设函数，,其中为实数。
（1) 假设在上是单调减函数，且在上有最小值,求的范围；
（2） 假设在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.
解：（1)
由题意：对恒成立
即对恒成立
在上有最小值
时，恒成立，在无最值
时，由题意
综上：的范围是:
（2）在上是单调增函数
对恒成立
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即对恒成立
令，那么
那么