文档介绍：几何证明题解题技巧
息县五中敖勇
【知识精读】
几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，:.AADE 仝 ABDF
「.Z 3 = Z1
,\Z 3 + Z2 = 90。
・•・FD丄ED
说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。
证明二：如图5所示，延长ED到M,使DM=ED，连结FE, FM, BM
A
M
图5
BD = DC
ZBDM = ZCDE，DM = DE
:.ABDM = ACDE
:.CE = BM，ZC = ZCBM
BM / / AC
ZA = 90°
ZABM = 90°= ZA
AB = AC，BF = AE
AF = CE = BM
:.AAEF 仝 ABFM
FE = FM
DM = DE
:.FD丄ED
说明：证明两直线垂直的方法如下：
（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证
2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。
3）证明二直线的夹角等于90° 。
3、证明一线段和的问题
（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）
：如图6所示在AABC中，ZB二60° ,ZBAC、ZBCA的角平分线AD、CE 相交于O
。
求证：AC=AE+CD
B
图6
分析：在 AC 上截取 AF=AE。易知 AAEO = AAFO，:.乙 1 = Z2。由 ZB 二 60°, 知 Z5 + Z6 二 60° , Z1 二 60° , Z2 + Z3 二 120°。:1 = Z2 = Z3 = Z4 二 60°，得:
AFOC = ADOC, :. FC 二 DC
证明：在AC上截取AF=AE
ZBAD = ZCAD, AO = AO
.:AAEO = AAFO(SAS)
:.Z 4 = Z2
又 ZB 二 60°
：・ Z5 + Z6 = 60°
：・ Z1 = 60°
:Z2 + Z3 = 120°
：・ Z1 = Z2 = Z3 = Z4 = 60°
：・ AFOC 仝 ADOC (AAS)
：・ FC = DC
即 AC = AE + CD
（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明
该线段等于较长线段。（补短法）
：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC 上, E在BC 上, ZEAF = 45°。
求证：EF=BE+DF
G BE C
图7
分析：此题若仿照例1,将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G
使 BG=DF。
证明：延长CB至G,使BG=DF
在正方形 ABCD 中，ZABG = ZD = 90° , AB = AD
:.AABG 仝 AADF (SAS)
AG 二 AF, Z1 = Z3
又 ZEAF 二 45°
:上 2 + Z3 = 45°
:上 2 + Z1 = 45°
即 ZGAE=ZFAE
・•・GE = EF
・•・ EF = BE + DF
4、中考题：
如图8所示，已知AABC为等边三角形，延长BC到D,延长BA到E,并且使AE=
BD,连结 CE、DE。
求证：EC=ED
BCD
图8
证明：作DF//AC交BE于F
AABC是正三角形
/.A BFD是正三角形
又AE=BD
・•・ AE = FD = BF
・•・ BA = AF = EF
即 EF=AC
AC// FD
・•・ ZEAC = ZEFD
・•・ AEAC 仝 ADFE (SAS)
・•・EC = ED
题型展示：
证明几何不等式：
例题：已知：如图9所示，Z1二Z2, AB > AC。
求证：BD > DC
A
1 2
/ ! \
/ \
C
B D
E
图9
证明一：延长AC到E,使AE=AB，连结DE
在AADE和AADB中，
AE = AB, Z2 = Z1, AD = AD
:.AADE = AADB
BD = DE，ZE = ZB
•ZDCE > ZB
・ZDCE > ZE
:.DE > DC, :. BD > DC
证明二：如图10所示，在AB上截取AF=AC，连结DF
12
F 3 4
B D C
图10
则易证AADF二AADC
.•・Z3 = Z4, DF = DC
BFD >Z3,