文档介绍：上一讲我们介绍了随机变量的数学期望,它体现了随机变量取值的平均,是随机变量的一个重要的数字特征.
但是在一些场合,仅仅知道随机变量取值的平均是不够的.
例如,某零件的真实长度为a,现用甲、乙两台仪器各测量10次,将测量结果X用坐标上的点表示如图:
若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣,你认为哪台仪器好一些呢?
甲仪器测量结果
较好
测量结果的均值都是 a
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近
乙仪器测量结果
又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹,其落点距目标的位置如图:
你认为哪门炮射击效果好一些呢?
甲炮射击结果
乙炮射击结果
乙炮
因为乙炮的弹着点较集中在均值附近.
中心
中心
为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值围绕其均值的离散程度.
这个数字特征就是我们这一讲要介绍的
方差
§4-2 方差
一. 方差的概念
设随机变量X的数学期望为E(X),若
E(XE(X))2存在, 则称它为X 的方差(此时,也称X的方差存在),记为D(X)或Var(X),即
D(X)=E(X  E(X))2
定义
称D(X) 的算术平方根
为X的标准差或均方差,记为(X).
若X 的取值比较分散,则方差较大.
刻划了随机变量的取值相对于其数学期望的离散程度.
若X 的取值比较集中,则方差较小;
D(X)=E[X-E(X)]2
方差
注意:
1) D(X)0,即方差是一个非负实数。
2)当X 服从某分布时,我们也称某分布的方差
为D(X)。
方差是刻化随机变量取值的分散程度的一个
特征值。
方差的计算公式
(1) 若X为离散型随机变量,其分布律为
pi = P(X=xi), i=1, 2, ... ,
且D(X )存在,则存在,则
由定义知,方差是随机变量X的函数 g(X)=[X-E(X)]2的数学期望.
(2)若X为连续型随机变量,其概率密度为f(x),且D(X)存在,则
(3)若随机变量的方差DX存在,则
证明:
常数
例1 设随机变量 X 在区间[1, 2]上服从均匀分布, 随机变量
则方差 DY=?
解: 依题设, Y 取值的概率为
于是 Y 的概率分布为
Y
P
-1 0 1
1/3 0 2/3