文档介绍：BCH码与RS码
BCH码
定义:给定任一有限域GF(q)及其扩域GF(qm),其中q是素数或素数的幂,m为某一正整数。若码元取自GF(q)上的一循环码,它的生成多项式g(x)的根集合R中含有以下d-1个连续根,
{as,as+1,…,as+d-2}
时,则由g(x)生成的循环码为q进制BCH码。
a是域GF(qm)中的n级元素
mi(x)和ei分别是as+i(i=0,…,d-2)元素的最小多项式和级,
g(x)=LCM(m0(x),m1(x),…,md-2(x))
n=LCM(e0,e1,…ed-2)
本原BCH码,非本原BCH码
BCH码
BCH限:BCH码的最小距离dBCH至少为d
HT限:若BCH码的生成多项式g(x)的根集R中含有s组d-1个a的连续元素,

且(n,a)=1,a∈GF(qm)是n级元素,则码的最小距离dHT>=d+s-1
BCH码的设计距离和实际距离
二进制本原BCH码的码长n=2m-1,设计距离d若为2t+1,则若
当t→0,则码的实际距离等于设计距离。
若码长n=ab,且二进制BCH码的设计距离d=a,则a是码的实际距离
长为n=qm-1的GF(q)上的BCH码,若有设计距离d=qh-1,则码的实际距离等于d
设计距离为d的GF(q)上的本原BCH码,它的实际最小距离d<=qd+q-2
二进制BCH码
对任何正整数m和t,一定存在一个二进制BCH码,它以a,a3,…,a2t-1为根,其码长n=2m-1或是2m-1的因子,能纠正t个随机错误,校验位数目至多为deg(g(x))=mt个。
Eg:m=4,a∈GF(24)是本原域元素,它是x4+x+1的根,求码长n=24-1=15的二进制BCH码。
BCH码的扩展
[n,k,d] →[n+1,k,d+1] d为奇数
[2m-1,k,d]本原BCH码→[2m,k,d+1]扩展本原BCH码
RS码
GF(q)(q≠2)上,码长N=q-1的本原BCH码称为RS码
RS码的码元的符号域与根域一致
RS码是极大最小距离可分码,MDS码
RS码
RS码的参数:[q-1, k, q-k]
[q-1, q-1-(d-1), d]
常用RS码:GF(23)上的[255, k, 255-k+1]
光盘、硬盘等磁记录信道应用
RS码的扩展
对RS码而言,增加一个全校验位,总可使最小距离增加1.
[N=qm-1, K, D] →[N+1, K, D+1]
双扩展RS码[qm+1, k, qm-k+2]
扩展RS码与双扩展RS码都是极大最小距离可分码。
RS码的映射扩展码:
[(m+1)(2m-1),mK,d>=2D=2(2m-K)]
双重映射扩展码:
[(m+1) 2m,mK,d>=2D=2(2m-K+1)]
以a,a2,…,aD-1为根的[N=2m-1,K,D]GF(2m)上的RS码,包含了码长为N、距离等于D的二进制本原BCH码。类似的,扩展RS码包含了扩展BCH码
BCH码的一般译码
彼得逊Peterson 1960
迭代译码波力坎普Berlekamp 1966
BM算法 Massey 1969
频域译码 Blahut 1978
超设计距离译码