文档介绍：关于功率谱估计模型法
第1页，讲稿共98张，创作于星期日
周期图法的不足
估计方法的方差性能差
在功率谱密度计算中没有实现求均值的运算
分辨率低
样本数据x(n)是有限长的，相当于在无限长样本数据中加载了窗函数(矩形窗、Han计功率谱密度
根据上式以及rxu(m)的求解：
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AR模型估计功率谱密度
将等式右侧的累加项移到等式左侧，这样上式就可以写成方程组的形式：
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AR模型估计功率谱密度
在方程组的形式中，由于H(z)模型参数ai为p个，以及白噪声方差σ2，因此需要p+1个方程就可以求解，同时根据自相关函数的对称性，将方程组展开为矩阵形式：
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AR模型估计功率谱密度
这就是AR模型的正则方程，也称为Yule-Walker方程。
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AR模型估计功率谱密度
得到AR模型的参数，就可以估计功率谱密度：
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AR谱估计特点
谱估计的特征
在谱峰值处，AR谱和信号谱很接近
谱谷底位置，则相差比较大。
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清音
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AR模型与线性预测的关系
线性预测系数aj构成的全极点滤波器H(z)：
其逆过程为：
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AR模型与线性预测的关系
AR模型：
对应的输入、输出关系：
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AR模型与线性预测的关系
那么：
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AR模型与线性预测的关系
这里我们发现线性预测过程是AR模型估计功率谱的逆过程。
当预测器的阶数和AR模型的阶数相同时，对应的预测器系数h和AR模型参数ai才有一一对应的关系。
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AR模型功率谱估计性能分析
周期图法中由于自相关函数rxx(m)的长度为2N-1，因此相当于对真实的自相关函数进行了加窗处理，自相关函数的取值范围在[-(N-1) N-1]内，在此范围外的值为零值，从而导致了估计的功率谱密度受到窗函数谱的影响，降低了分辨率。
AR模型对功率谱估计的改进实际上体现在对自相关函数的延拓特性上，没有将估计的自相关函数取值限制在[-(N-1) N-1]的范围内。
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AR模型功率谱估计性能分析
根据Yule-Walker方程可知：
首先估计p+1个自相关函数rxx(0)，rxx (1)，…，rxx (p)后，可以根据上式得到AR模型参数ai。
这样，就根据ai得到对p之后的自相关函数进行拓展：
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AR模型功率谱估计性能分析
这里m>p，因此我们利用p个估计的自相关函数，可以对m>p所有的自相关函数rxx (m)进行延拓，从而提高了自相关函数窗的长度，增加了功率谱估计的频域分辨率。
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AR模型阶数p的选择
如果模型的阶数过小，则会增加对功率谱的平滑作用，降低谱的分辨率
但如果阶数太高，虽然会降低预测误差的方差，但会导致谱峰的分裂，增加估计误差。
这是由于阶数实际上对应于谱结构中的谱峰情况。
第44页，讲稿共98张，创作于星期日
AR模型阶数p的选择
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AR模型阶数p的选择
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AR模型阶数p的选择
在进行AR谱估计时，首先需要确定阶数p。p的选择可以基于以下三种准则进行。
最终预测误差准则(FPE)
其中k为阶数，N为样本数据x(n)的长度，而ρk表示k阶AR模型得到的白噪声方差。
上式最小值对应的阶数为最终选择的阶数。
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AR模型阶数p的选择
阿凯克信息论准则(AIC)
同样选择使上式最小的k值作为模型的阶数。
AIC准测和FPE准则在样本数据x(n)长度较长时，估计得到的模型阶数相似。对于较短的样本数据，建议使用AIC准则。
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AR模型阶数p的选择
自回归传递函数准则(CAT)
同样使得上式最小的k为模型阶数。
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AR模型参数的求解
自相关法
利用Yule-Walker方程得到AR模型参数ai：
第50页，讲稿共98张，创作于星期日
AR模型参数的求解
Yule-Walker方程中的自相关函数r