文档介绍：1
浅析中学数学中柯西不等式的应用
刘小菲
引言：
柯西不等式在中学数学中的广泛的应用，它在中学数学特别是中学数学奥林匹克竞赛有着不容忽视的作用。它在20届的IMO，26届的IMO以及1987年CMO集训队试题等数学竞赛题中都
，即
已知，，求证：
证明：由题意，可得
令
即
证明：
证明：
若上述不等式中，两边开平方，得
5
这就是著名的不等式：个正数的平方平均值不小于它们的算术平均值。
求证：对于任意实数和，下面不等式恒成立
证明：由柯西不等式，得：
又
两边开平方即得证
证明：对于任意实数，不等式
成立。
证明：由柯西不等式，得
，
6
柯西不等式及其应用
(113)已知3x2+2y2+4z2=24，试求W=7x+y-5z的最大值与最小值。
(115)已知x12+x22+....+xn2=1，求y=-x1+√2x1-√3x1+.....+(-1)n√nxn的最大值与最小值。
已知a、b、c、d、e是满足 a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16的实数，试确定e的最大值。(1978年第7届美国数学奥林匹克试题)
(117)m个互不相同的正偶数与n个互不相同等正奇数的总和为1987，对于所有这样的m与n，问3m+4n的最大值是多少？请证明你的结论。(1987年第2届全国冬令营试题)
(95)求证yz+zx+xy-9xyz≧0，其中x、y、z为非负实数，满足x+y+z=1。
这道条比1984年第25届IMO试题第一题稍强，原题是：求证
0≦yz+zx+xy -2xyz ≦7/27，其中x、y、z为非负实数，满足x+y+z=1。
(274)设有2n x 2n 的正方形方格棋盘，在其中任意3n个方格中，各放一枚棋子，求证：可以选出n行和n列，使得3n枚棋子都在这n行和n列中。
(1990年全国初中数学联赛试题) 更一般的命题：
设有( m+n )x(m + n)的正方形方格中棋盘，在其任意m+2n个方格中各放一枚棋子，求证：可选出n行和m列使得m+2n枚棋子都在这n行和m列中。
在一张向四面无限伸展的方格纸上，每一方格内任意填上一个实数，证明：纸上必有一个方格内的数不大于这一方格周围八个方格中至少四个方格所填的数。
(105)(1987年第28届IMO试题) 设n个实数x1、x2、....、xn满足x12+x22+....+xn2=1，求证：对于任意整数k≧2，存在n个不全为零的整数ai，|ai|≦k-1 (i=1，2，....，n)使得
|a1x1+a2x2+....+anxn|
≦
(k-1)√n
kn-1
 
(119)四个数之和为4，平方和为8，确定这四个数中最大的那个的最大值。
设u、v为正实数，求u、v所满足的充分必要条件，使得对给定n，存在实数满足
a1≧a2≧....≧an≧0，a1+a2+....+an=u，a12+a22+....+an2=v。
当这些数存在时，求a1的最大值与最小值。(1989年第30届加拿大IMO训练题