文档介绍：第六章弯曲变形超静定梁
§6-1 梁挠曲线近似微分方程
§6-2 用积分法求梁的变形
§6-3 用叠加法求梁的变形
§6-4 梁的刚度校核
§6-5 超静定梁
§6-1 梁挠曲线近似微分方程
一、挠度和转角
平面弯曲时梁轴线为一条光滑连续的曲线。
梁弯曲后的轴线称为挠曲线,见图曲线AB'。
x
y
x
C
A
B
θC
yC
C'
B'
θC
取梁轴线上C,弯曲变形后,该点变成C'。
将梁轴线上的一点在垂直于梁变形前轴线方向的线位移称为该点的挠度。
由于小变形,'垂直于其变形前的轴线AB。
梁变形后,横截面仍然与此时的轴线垂直。
梁横截面绕其中性轴转动的角度称为该截面的转角。
工程中挠度和转角是度量梁弯曲变形的两个基本量。
若梁任一横截面的位置用x表示,则:
挠度方程为:
转角方程为:
梁任一横截面的转角等于该截面处挠度对横截面位置的一阶导数。
二、挠曲线近似微分方程
在梁处于纯弯曲或剪应力相对影响较小情况下,由教材P128(5-2)式知
在挠曲线中取微段
由于小变形,
故
梁挠曲线近似微分方程
x
y
x
A
B
B'
dx
ρ(x)
dθ(x)
ds(x)
则
θ(x)
θ(x)
dθ(x)
上式中E(x)Iz(x)为梁在x处的抗弯刚度,适用于非均匀变截面梁。当E(x)为常数时称为均匀梁;当Iz(x)为常数时称为等截面梁;当E(x)Iz(x)为常数时称为等截面均匀梁。本章仅研究等截面均匀梁。
三、挠度、转角、弯矩、剪力、分布载荷关系
转角
弯矩
剪力
分布载荷
对该式积分后产生2个积分常数,在确定这些积分常数过程中,需灵活应用边值条件、连续条件和光滑条件等变形几何条件。
一、挠曲线基本方程
§6-2 用积分法求梁的变形
夹紧端:
简支端:
二、变形几何条件
任一点的挠度值连续。
任一点的转角值连续。
支承对挠度和转角的限制
三、解题步骤
求支座约束反力;
求弯矩方程M(x),有时可能要分段;
(分段)求解微分方程;
由边值条件、连续条件、光滑条件确定积分常数;
写挠度方程和转角方程;
求最大挠度|y|max和最大转角|θ|max。
四、例题
【例6-1】求图示简支梁的最大挠度|y|max和最大转角|θ|max 。
【解】1)求支座反力
2) 分段写弯矩方程
RA
RB
P
a
b
A
B
C
l
3) 分段求解微分方程
4)根据边值条件、连续条件、光滑条件确定积分常数。
求解得
5)求挠度和转角方程
最大转角仅可能发生在A、B端。
6)求最大挠度|y|max和最大转角|θ|max 。
显然,当a>b时,最大转角发生在B端。
因A截面转角为负,而当a>b时C截面转角为正,故转角为零即挠度取得极大值的截面发生在AC段。
即:
于是: