文档介绍：第二章 一元线性回归分析
思考与练****参考答案
一元线性回归有哪些基本假定？
答：假设1、解释变量X是确定性变量，Y是随机变量；
假设2、随机误差项£具有零均值、同方差和不序列相关性:
E(8)=0 i=1,2, ...,n \Jn 一 2r Vn 一 2r
一 "yy — —.
(SSE (n 一 2) ^SSE SST < 1 - r2
，即验证:
（2）
SSR = 8 (y - y)2 =8 (B +B x - y)2 =8 (y + B (x -x)一y)2 =8(B (x -x))2 = B2L
i 0 1 i 1 i 1 i 1 xx
i=1 i =1 i=1 i=1
SSR/1
SSE /(n — 2)
B
1 x^ = 12
人
6 2
验证()式：Var(e ) = (1 - — 一(-i—)2)62 i n L
xx
证明：
var(e ) = var(y - y ) = var(y ) + var(y ) - 2cov( y , y )
i i i i i i i
=var(y ) + var(B + B x ) - 2cov( y , y + B (x - x)) i 0 1 i i 1 i
=62 +6 2[i + (xi - x)2 ] - 26 2[i + (xi - x)2 ] n Lx n Lxx
=[1- 1 - (x,T)2 ]6 2
nL
xx
Cov (y , y + P (x - x)) = Cov (y , y) + Cov (y , P (x - x))
i 1 i i i 1 i
其中：=Cov(y ^y ) + (x - x)Cov(y.,E"上 ")y.)
i=1 i=1 xx
=1 b2 +(气 )2 B = (1 + (% T)2 R2
n L nL
b 2工之
n-2是温的无偏估计量
证明：
E (b 2) =2 £e 3 -幻2 =2 &(02) n - 2 [ n - 2 1
=—£ var(e ) =，£ [1-1-(疽)2 ]c 2
n — 2 .] 1 n — 2、 n L
1 ； c、_ _ J "
= (n — 2)b 2 = b 2
n — 2
，某商店记录了 5个月的销售收Ay (万 元)和广告费用x (万元)，,要求用手工计算：
表2・6
月份
1
2
3
4
5
X
1
2
3
4
5
Y
10
10
20
20
40
画散点图(略)
X与Y是否大致呈线性关系?
答：从散点图看，X与Y大致呈线性关系。
用最小二乘法估计求出回归方程。
计算表
X
Y
(X - X)2
(匕-Y )2
(Xj - X)(y - y )
Y
(Y广 Y )2
(Y. - Y )2 i i
1
10
4
100
20
6
(-14) 2
(-4) 2
2
10
1
100
10
13
(-7) 2
(3) 2
3
20
0
0
0
20
0
0
4
20
1
0
0
27
72
72
5
40
4
400
40
34
142
(-6) 2
和15
100
和 Lxx=10
Lyy=600
和 Lxy=70
和100
SSR=490
SSE=110
均3
-人
均20
L
70 -
人
均20
p =呼==7, p = Y — p X = 20 — 3 x 7 = —1.
i L 10 七
回归方程为:Y = 6。+!^x = —1+7X
求回归标准误差
先求SSR (Qe)见计算表。
所以
一* = = .
in-2 - 3
第三章
= SSE (n - p -1)随机误差项-的方差6的无偏估计。
证明:
•.•6 2 = i SSE = (ee) = £ e 2,
n - p -1 n - p -1 n - p -1 '
i=1
.・.E(乙2) = £d(e ) = &2(1-h ) =62£(1 -h ) =62(n-£h ) =62(n- p -1) i i ii ii ii
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
••• E (6 2) = — E (£e 2) =62 n - p -1 '
i = 1
一个回归方程的复相关系数R=,样本决定系数R2=