文档介绍：动态规划---入门篇
Dynamic programming
EZOI
多阶段决策过程
多阶段决策过程( multistep decision process )是指这样一类特殊的活动过程,过程可以按时间顺序分解成若干个相互联系的阶段,在每一个阶段都需要做出决策,全部过程的决策是一个决策序列。
动态规划(dynamic programming )算法是解决多阶段决策过程最优化问题的一种常用方法,难度比较大,技巧性也很强。利用动态规划算法,可以优雅而高效地解决很多贪婪算法或分治算法不能解决的问题。
求解问题的两个重要性质
最优子结构性质:如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的,我们就称该问题具有最优子结构性质( 即满足最优化原理)。最优子结构性质为动态规划算法解决问题提供了重要线索。
子问题重叠性质:在用递归算法自顶向下对问题进行求解时,每次产生的子问题并不总是新问题,有些子问题会被重复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质,对每一个子问题只计算一次,然后将其计算结果保存在一个表格中,当再次需要计算已经计算过的子问题时,只是在表格中简单地查看一下结果,从而获得较高的解题效率。
动态规划与分治、递归、贪心的区别
递归算法在程序实现上直观容易,但因为子问题被重复计算,且程序背后存在对栈的操作,速度(计算复杂度一般是指数级的)上劣于动态规划。在递归的过程中,通过保存子问题的结果,可以减少计算量,同样是空间换时间的思想,称作memoization算法。
分治法要求各个子问题是独立的(即不包含公共的子问题),因此一旦递归地求出各个子问题的解后,便可自下而上地将子问题的解合并成原问题的解。动态规划与分治法的不同之处在于动态规划允许这些子问题不独立(即各子问题可包含公共的子问题),它对每个子问题只解一次,并将结果保存起来,避免每次碰到时都要重复计算。这就是动态规划高效的一个原因。
在贪婪算法中,每采用一次贪婪准则,便做出一个不可撤回的决策;而在动态规划算法中,还要考察每个最优决策序列中是否包含一个最优决策子序列,即问题是否具有最优子结构性质。
最短路径问题
图中给出了一个地图,地图中每个顶点代表一个城市,两个城市间的连线代表道路,连线上的数值代表道路的长度。现在,想从城市A到达城市E,怎样走路程最短,最短路程的长度是多少?
[题1] 最长不下降子序列
【问题描述】
设有整数序列b1,b2,b3,…,bm,若存在i1<i2<i3<…<in,且bi1<bi2<bi3<…<bin,则称 b1,b2,b3,…,bm中有长度为n的不下降序列bi1,bi2,bi3,…,bin。求序列b1,b2,b3,…,bm中所有长度(n)最大不下降子序列
输入:整数序列
输出:最大长度n
[题1] 最长不下降子序列
【分析】
设F(i)为前I个数中的最大不下降序列长度。由题意不难得知,要求F(i),需要求得F(1)—F(i-1),然后选择一个最大的F(j) ( j<i, bi>bj ),那么前I个数中最大不下降序列便是前j个数中最大不下降序列后添加bi而得。可见此任务满足最优子结构,可以用动态规划解决。
通过上面的分析可得状态转移方程如下:
F(i)=max{F(j)+1} (j<i, bj<bi)
边界为F(1)=1
【部分代码】
f[1]:=1;len:=1; {求解最大不下降序列长度}
for i:=2 to n do begin
f[i]:=1;
for j:=1 to i-1 do
if (b[i]>b[j])and(f[i]<f[j]+1) then
f[i]:=f[j]+1;
if f[i]>len then len:=f[i] {记录最大值}
[题2] 数塔
如下图所示的数塔,从顶部出发,在每一结点可以选择向左下走或是向右下走,一直走到底层,要求找出一条路径,使路径上的数的和最大。数塔层数用n表示,1<=n<=100。
[题2] 数塔
贪心法。时间上有保证,但得不到最优解。主要原因是贪心法只顾眼前利益,不考虑长远利益。
在规定时间内得到正确结果,唯一的方法就是“动态规划”。
下面以示意图表示动态规划的过程:所选路径为:9-12-10-18-10
注意分析时,有以下几个特点:
(1)将问题划分成了4个阶段;
(2)每个阶段均得到了“部分”的最优解,得到最优解时,需要进行条件判断;
(3)从最下面一层往顶层推导。
[题3] 棋盘路径问题
【题目简介】
有一个n*m的棋盘,左下角为(1,1),右上角为(n,m),如下图: 
有一颗棋子,初始位置在(1,1),该棋子只能向右走或者向上走,问该棋子从(1,1)到(n,m)一共有几条路径?
输入:两个整数n和m
输出:一个数,路径总数