文档介绍：§
【数学分析课件】
定理若函数在区域上有连续的偏导数, 是单连通区域,那么以下四条相互等价:
(i)对任一全部含在内闭路,
(ii)对任一全部含在内的曲线,曲线积分
与路径无关(只依赖曲线的端点);
(iii)微分式在内是某一个函数
的全微分,即;
(iv) 在内处处成立。
证明
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当曲线积分和路径无关时,即满足上面的诸条件,如令点固定而点为区域内任意一点,那么由积分所定义的函数
在内连续并且单值。这个函数为
的一个原函数,它和定积分中所述原函数相仿并有以下性质:
1’.这由刚才的证明即得。
2’利用原函数来计算曲线积分
这里, , 和
分别为, 点的坐标。是一个
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记号,它等于。
剩下来还要说明如何求的原函数。设和
满足定理的条件。因此必存在原函数
使,同时的曲线积分与路径无关。在区域内固定一点,对内任何点,沿两条直线和从点到点的积分,得
其中,同样不难验证也是
的一个原函数。以下考虑非单连通区域的情形,并引进一个重要概念:循环常数,在曲线积分与路径无关的定理中,它的理论是建立在两个假定之上(i)所考虑区域是单连通的,即没有“洞”;(ii)函数, 及其偏导数
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在内连续。如果这两个条件被破坏了,一般来说,上面的那些断言将不会成立。
现在讨论区域内有一个奇点的情形。这时,如果闭路中包含一奇点,格林公式就不能应用。我们考虑两条闭路, 都逆时针绕奇点一圈,可用线段将
和联结起来,在及上沿逆时针方向积分,即得
所以
即环绕某一奇点的任两条闭路沿同一方向的积分相等。因此,对区域中任何闭路,它或者不绕过奇点,或者绕过周,这时积分值就是
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的倍。只环绕奇点一周的闭路上的积分值叫做区域
的循环常数,记为,于是,对内任一闭路,
这里为沿闭路按逆时针方向绕的圈数。例如当
时
如果它按逆时针方向绕的圈数为,按顺时
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针方向绕的圈数为,那么。
如果内有个奇点,在
周围作一环路使它不包含其他奇点,则沿闭路的积分就是一个循环常数。区域共有个循环常数
,若为任意的含在内的闭路,它环绕点的周数为,这里的算法和上述的
相同,则
所有沿内任意闭路的积分都有这样的形式。
例计算
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