文档介绍：复变函数全书知识点
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复数的诞生
先从二次方程谈起: 公元前400年，巴比伦人发现和使用
则当 时无解，当 时有解．
二千多年没有进展：寻
2) 显然, r = | z | = 1, 又
因此
练****br/>写出 的辐角和它的指数形式。
解：
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很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表 示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定
它所表示的平面图形.
例1 将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表示. [解] 通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为
因此, 它的复数形式的参数方程为
z=z1+t(z2-z1). (-<t<+)
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由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成 z=z1+t(z2-z1). (0t1)
取
得知直线段的中点为
例2 求下列方程所表示的曲线:
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解：
设 z = x + i y , 方程变为
-i
O
x
y
几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直平分线, 方程为 y = - x , 也可用代数的方法求出。
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O
x
y
-2
2i
y=-x
设 z = x + i y , 那末
可得所求曲线的方程为 y = -3 .
O
y
x
y=-3
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注: 这里A是复数,B是实数.
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x1
x2
x3
o
z(x,y)
x
y
P(x1,x2,x3)
x1
x2
x3
N(0,0,2r)
除了复数的平面表示方法外, 还可以用球面上的点来表示复数.
用直线将复平面内任一点z与N相连, 必与球面相交于P点, 则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系, 而N点本身可代表无穷远点, 记作. 这样的球面称作复球面.
4. 复球面与无穷远点
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扩充复数域---引进一个“新”的数∞:
扩充复平面---引进一个“理想点”: 无穷远点 ∞.
约定:
注: 若无特殊说明,平面均指有限复平面.
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定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘，
两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。
证明 设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1
z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2
则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2)
= r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
=r1r2e i(θ1+θ2)
1. 乘积与商
因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
§ 复数的乘幂与方根
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几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度
Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。
定理1可推广到n 个复数的乘积。
o
x
y
(z)
z1z2
z2
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例：设
则：
即 k=m+n+1
则有
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定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商，
两个复数的商的辐角等于被除数与除
数的辐角之差。
证明
Argz=Argz2-Argz1 即：
由复数除法的定义 z=z2 /z1，即 z1z = z2
∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg z2（ z1≠0）
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第29页，讲稿共2