文档介绍：2
第五章相似三角形
一、教法建议
【抛砖引玉】
本单元主要研究相似三角形的判定与性质，并在此基础上，通过把多边形分割成若干个三角形的知识，介绍了相似多边形的概念和性质，在教学中，要用类比的方法贯穿教学始终，要把: S△DAB= 。
图4
⑷将长为8cm，宽为6cm的长方形ABCD折叠，使B、D两点重合，折线EF的长为 。
【精典题解】
例，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP，满足什么条件时，△ACP与△ABC相似。
揭示思路：这道例题十分简单，图形对大家来说又很熟悉，然而这一基本图形的特点是：有一个公共角的两个三角形相似的证题思维是（一）必须找一对对应角相等；（二）或者夹公共角的对应边成比例。只要按这两条探索，本例圆满解决。
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图5
解：∽
∽
∽
又因，因此，得，当∠1=∠B，或∠2=∠ACB，或AC 2 = AB·AP时，△ACP∽△ABC。
这道例题容易解决，以它为基础，只要告知问题与其基本图形一样，利用它的两大思路作“向导”，便可解决一系列的有关问题。
图6
问题1 如图6△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，D、B、C、E共线，则图中有相似三角形的个数至少为（ ）
(A)一对 (B)二对 (C)三对 (D)四对
图7
揭示思路：可把△DAB和△DEA看作有一个公共角ADB的基本图形，再把△EAC和△DEA看作有一个公共角AEB的基本图形。
问题2 已知：如图7，D、E是△ABC的边BC上两点，且∠BAD=∠C，∠DAE=∠EAC，求证：BD:BA=DE:EC
揭示思路：把△ABD和△ACB看作有公共∠B的基本图形。
问题3 已知：如图8，△PQR是等边三角形， ∠APB=120°，求证：(1)△PAQ∽BPR；(2)AQ·RB=QR 2。
揭示思路：同问题1相仿，不再叙述。
图8
问题4：AD为△ABC（AB＞AC）的角的平分线（如图9），AD的垂直平分线和BC的延长线交于点E，求证：DE2 = BE·CE。
图9
揭示思路：连结AE，把△ACE与△ABE看作公共∠E的基本图形。
问题5 如图10，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为a的正方形，(1)计算AE、AF、AC的长；(2)求证：△AFE∽△CEA；(3)求证：∠AFB＋∠ACB=45°
图10
揭示思路：把△AEF与△CEA看作有公共∠AEF的基本图形。
图11
问题6 如图11，已知△ABC中，P为AB上的一点， ∠PCA=∠B，AP=9cm，PB=3cm，求AC的长。
揭示思路：把△ABC与△ACP看作有公共角A的基本图形。
图12
问题7 如图12，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DE为AC的中线，延长线交AB的延长于F，求证：AB·AF=AC·DF。
揭示思路：把△DBF和△ADF看作有公共角F的基本图形。
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问题8 如图13，D是△ABC的边BC上的一点，且∠BAD=∠C，若AB=a，AD=b，AC + BC = c，求AC的长。
图13
揭示思路：把△BAD和△BCA看作有公共角B的基本图形。
图14
问题9 如图14，D为△ABC的边AC上的一点，∠DBC=∠A，已知BC=，△BCD与△ABC的面积的比是2 : 3，则CD的长是（ ）
揭示思路：把△ABC和△BDC看作有公共角C的基本图形。
从以上九个问题可知，涉及求值、求证线段成比例、求角度等方方面面的题目，但有一个不变内容，即其基本图形，对每个问题只要能找到基本图形，思路就能打开，由此看来，对课本中介绍的基本图形（指点迷津已介绍五种基本图形）的特点一定要熟练地掌握住，在遇到新的问题或陌生问题，可进行解剖，从中挖掘出基本图形，应用基本图形作开路先锋，思路便容易畅通，由此也启示我们，要认真学好课本上基本知识，可以以少胜多，事半功倍。
【思维体操】
例 在△ABC中，D、E分别为BC的三等分点，AC边上的中线BM交AD于P，交AE于Q，若BM= 10cm，试求BP、PQ、QM的长。如图15
思维扩散1 由AC边的中线BM启示我们，“遇到中线常加倍”这是证解中线问题好办法，对本例当然也实用。
图15
延长BM至点N如图16，使MN=MB∵AM=CM，∠BMC=∠NMA，∴△BMC≌△NMA∴AN=BC。
∵BD∥AN，∴△BPD∽△NPA。∴BD:AN=BP:PN。
即BD:BC=BP:PN=1:3
∴ ∴∵B