文档介绍：协方差分析理论与案例
假设我们有N个个体的K个属性在T个不同时期的样本观测值，用y , it
七，…，N,t=1，…，T,k=1，…，K表示。一般假定y的观测值是某随机实验的 结果，该实验结果在属性向量x和参数向量0下的条件概率分布为f进一步分解后再进行方差分析。
方差分析的前提是除随机误差外，水平变量是影响观测值的唯一变量，方 差分析数据结构：
y .. = u + t + e
协方差分析将方差分析与回归分析结合了起来，勒方差分析数据结构：
ij
y = Uy +1 ^ p e( X - u^) + £
协方差案例：
设有k个处理、n次重复的双变量试验资料，每处理组内皆有n对观测值x、y, 则该资料为具kn对x、y观测值的单向分组资料，其数据一般模式如表10— 1所 示。
表1加对观测值X、y的单向分组资料的一般形式
处理
处理1
处理2
・・・
处理i
・・・
处理k
观测指标
x y
x y
・・・
x y
・・・
x y
Xn yn
X21 y21
・・・
x. y.
i1 i1
Xk1 yk1
观测值
X12 L
X22 y22
・・・
Xi2 yi2
・・・
Xk2 yk2
X"、yj
・・・ ・・・
・・・ ・・・
・・・
・・・ ・・・
・・・
・・・ ・・・
(i=1,2,...k
X1j y1j
X2j y2j
・・・
x. y.
ij 7 ij
・・・
Xkj ykj
j=1,2,...n)
・・・ ・・・
・・・ ・・・
・・・
・・・ ・・・
・・・
・・・ ・・・
X1n y1n
x* y)“
・・・
Xin yin
・・・
Xkn ykn
总和
x . y.
x . y.
・・・
X. yr
・・・
Xk. yk.
平均数
1 H
2 2
x . y .
2 - 2
・・・
x.. y..
・・・
表1的x和y变量的自由度和平方和的剖分参见单因素试验资料的方差分析方 法一节。其乘积和的剖分则为：
总变异的乘积和SP 丁是x与&和y与亍的离均差乘积之和，即： T ij ij
SP『=2£ (x..f..)("一y..) = £8x*—罕..
i=1 j=1
T ij ij ij ij kn
i=1 j=1
df t=kn-1
x..
其中，入..= l^x，., y.. = l^y.., x.. = X《，"="玲。 i=1 i=1
即：
(10-6)
处理间的乘积和SP是x,..与x..和y,.与y..的离均差乘积之和乘以n，
SP = n£ (x..- x..)(y ..- y..)=【£ x..y..i'^i' t 1 1 1 n . 1 1 1 kn
df = k -1
处理内的乘积和SP是x与x .，即: e ij I ij I
―n yt • = SPT-SPt
i=1
(10-7)
SPe =£ 龙 EL E 出 j A = £
i =1 j=1 i =1 j=1
df =k(n-1) e
分别为仁、
以上是各处理重复数〃相等时的计算公式，若各处理重复数〃不相等
i i=1
SP
T
ij
i=1 j=1
x,,・y,,.
切
i
i=1
dfT = 5
i=1
(10-8)
SP =
t
x .y . x..y..
+ ... + —k k
n
k
乙n
i i=1
df
t
n;
SP基气x
e ij
i=1 j=1
x . y .
1勺
n
1
x .y .
2 ‘2
n
2
+... +
x .y . -c -c
k，k =SP-SP
n T ]
k
df = ¥n.—k
i =1
=df—dft
(10-9)
有了上述SP和df，
再加上乂和^的相应SS
就可进行协方差分析。
n2、…、nk，其和为En，则各项乘积和与自由度的计算公式为:
【】 为了寻找一种较好的哺乳仔猪食欲增进剂，以增进食欲，提高断奶重， 对哺乳仔猪做了以下试验：试验设对照、配方1、配方2、配方3共四个处理，重复12次，选 择初始条件尽量相近的长白种母猪的哺乳仔猪48头，完全随机分为4组进行试验，结果见表 10—2，试作分析。
此例，x.. = x . + x . + x . + x . =+++= 12 3 4
y.. = y . + y .