文档介绍：第四节矩阵秩与向量组秩的关系
6/25/2017
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线性代数教学课件
按行分块得到
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线性代数教学课件
将该矩阵按列分块得到
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线性代数教学课件
称为A的行向量组
称为A的列向量组
定义9 矩阵A的行向量组的秩成为A的行秩,A的列向量组的秩称为A的列秩。
矩阵A的秩与其行秩和列秩有什么关系呢?
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线性代数教学课件
先看一个例子
此矩阵为具有4个非零行的B-型矩阵
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线性代数教学课件
显然B的列向量组
线性无关,并且
故
是B的列向量组的极大无关组。
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线性代数教学课件
B的列秩=B的秩=r
一般的,对有r个非零行的B-型阶梯型矩阵,有
B的列秩=B的秩=4
引理设矩阵A经过行初等变换化为B,分别记为:
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线性代数教学课件
之间有完全相同的线性关系,即
则A的列向量组与B的列向量组
当且仅当
证因为矩阵A经过行初等变换化为B,A的列向量组与B的列向量组等价,也就是说齐次线性方程组AX=0 与BX=0同解,即
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线性代数教学课件
有相同的线性相关性。
于是知列向量组
与
同解
与
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线性代数教学课件
定理5 矩阵的秩等于它的行秩,也等于它的列秩。
证设矩阵
B是与之对应的B-型阵
设A的r阶非零子式
下证A的列向量组的秩为r
所在的r列构成的
矩阵为
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线性代数教学课件