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相像三角形
一、学问概述
〔一〕相像三角形
1、对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相像三角形．
温馨提示：
①当且仅当一个三- - - - - - - - -
学****三角形相像的判定,
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把证明三角形全等的思想方法
要与三角形全等的判定相比较,
迁移到相像三角形中来；
对一些显现频率较高的图形,
要善于归纳和记忆；
对相像三角形的
判定思路要善于总结,形成一整套完整的判定方法．如：
路；
〔1〕 “平行线型 ”相像三角形, 基本图形见上节图． “ 见平行, 想相像 ”是解这类题的基本思
〔2〕 “相交线型 ”相像三角形,如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角． “见一对等
角,找另一对等角或夹等角的两边成比例 ” 是解这类题的基本思路；
〔3〕 “旋转型 ”相像三角形,如图．如图中∠
1=∠ 2,∠ B=∠D〔或∠ C=∠E〕,就△ ADE ∽
△ ABC ,该图可看成把第一个图中的△ ADE 绕点 A 旋转某一角度而形成的．
温馨提示：
从基本图形入手能较顺当地找到解决问题的思路和方法, 能帮忙我们尽快地找到添加的
帮助线．以上 “ 平行线型 ” 是常见的,这类相像三角形的对应元素有较明显的次序, “ 相交线
型” 识图较困难,解题时要留意从复杂图形中分解或添加帮助线构造出基本图形．
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三、解题方法技巧点拨
1、查找相像三角形的个数
例 1、〔吉林〕将两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图的样子,假设图形中全部点、线都
在同一平面内,回答以下问题：
〔1〕图中共有多少个三角形？把它们一一写出来；
〔2〕图中有相像〔不包括全等〕三角形吗？假如有,就把它们一一写出来．
分析：
〔1〕在△ ABC 内,有五个三角形,加上△
ABC 与△ AFG ,共有七个三角形．
〔2〕这是依据相像三角形判定定理来解决的计数问题．由于个非直角三角形,考虑到题设中两个三角形摆放的随便性,∠
“ 不包括全等 ”,图中仍剩五 1 不肯定等于∠ 2,而∠ B=∠
C=45°,∠ 3、∠ 4 都为钝角,又排除△ ABD 与△ ACE 相像,仍剩三个三角形,这三个三角
形相像．
解：
〔1〕共有七个三角形,它们是△
ABD 、△ ABE 、△ ADE 、△ ADC 、△ AEC 、△ ABC 与
△ AFG ．
〔2〕有相像三角形,它们是△∽△ DAE ∽△ DCA〕．
ABE ∽△ DAE ,△ DAE ∽△ DCA ,△ ABE ∽△ DCA〔或△ ABE
点拨：①解决这类计数问题,
肯定要依据图形与定理,
全面、周密摸索, 做到不重不漏,
这类题有利于发散思维的培育和创新意识的形成；
②有爱好的同学可连续探究一下此题中
BD 、DE、EC 三条线段有何关系？
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2、画符合要求的相像三角形
例 2、〔上海〕在大小为 4× 4 的正方形方格中,△
ABC 的顶点 A、B、C 在单位正方形的顶点
上,请在图中画出一个△
A 1B1C1,使得△
A 1B1C1∽△ ABC〔相像比不为
1〕,且点 A 1、 B1、
C1都在单位正方形的顶点上．
（1）（2）
分析：
设单位正方形的边长为
1,就△ ABC 的三边为
2 或 3 可画△
,从而依据相像三角形判定定理
A 1B 1C1,易得
点拨：在 4× 4 的正方形方格中,满意题设的△
A 1B 1C1 只能画出以上三个,如正方形方
格数不加限制,就和△ ABC 相像且不全等的三角形可以画很多个．
3、相像三角形的判定
例 3、〔1〕如图, O 是△ ABC 内任一点, D、E、F 分别是 OA 、OB 、OC 的中点,求证：△
DEF∽△ ABC ；
〔2〕如图,正方形 ABCD 中, E 是 BC 的中点, DF=3CF ,写出图中全部相像三角形,并
证明．
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