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a g sin
，所以运动时间为
s d sin
2s 2d sin 2d
t
0 a g sin g
即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾
4 上海龙文教学管理部龙文教育让您的孩子学会学****br/>角、长短无关。
规律：AB、AC、AD 是竖直面内三根固定的光滑细
杆，A、B、C、D 位于同一圆周上，A 点为圆周的最高
点，D
（图中未画出），三个滑环分别从 A 处由静止开始释
放，到达圆周上所用的时间是相等的，与杆的长度和
倾角大小都无关.
推导：设圆环沿细杆 AB 滑下，过 B 点作水平线构
造斜面，并设斜面的倾角为θ，如图2 所示，连接 BD.
根据牛顿第二运动定律有环的加速度 a=gsinθ，由几
何关系有 AB=x=2Rsinθ，由运动学公式有 x=12at2，
解得：环的运动时间 t=2Rg，与倾角、杆长无关，所以
环沿不同细杆下滑的时间是相等的.
说明 1 如果细杆是粗糙的，环与细杆间的动摩擦
因数都为μ，由运动学公式有
2Rsinθ=12（gsinθ—μgcosθ）t2，
解得 t=2Rsinθgsinθ—μgcosθ=2Rg—μgcot
θ，
θ增大，时间 t 减小，规律不成立.
二、“等时圆”的应用,巧用等时圆模型解题
5 上海龙文教学管理部龙文教育让您的孩子学会学****br/> 对于涉及竖直面上物体运动时间的比较、计
A
算等问题可考虑用等时圆模型求解．
1、 可直接观察出的“等时圆” 图
例 1：如图 3，通过空间任一点 A 可作无限多个斜
面，若将若干个小物体从点 A 分别沿这些倾角各不相同
的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在
位置所构成的面是（ ）
确定
【变式训练 1】如图所示，AB 和 CD 是两
条光滑斜槽，它们各自的两端分别位于半径
为 R 和 r 的两个相切的竖直圆上，并且斜槽
都通过切点
静止出发，从 A 滑到 B 和从 C 滑到 D，所
用的时间分别等于 和 ，则 和 之比为
t1 t2 t1 t2 ( )
A．2∶1 B．1∶1
∶1 D．1∶2
例 ：圆 和圆 相切于点 ， 、 的连线为
4 O1 O2 P O1 O2
6 上海龙文教学管理部龙文教育让您的孩子学会学****br/>一竖直线，如图 8 所示。过点 P 有两条光滑的轨道 AB、
CD，两个小物体由静止开始分别沿 AB、CD 下滑，下
滑时间分别为 、 ，则 、 的关系是（）
t1 t2 t1 t2
>t2 =t2
无法判断
<t2 D.
例2：如图4，位于竖直平面内的固 图
定光滑圆轨道与水平面相切于 M点，与 B
竖直墙相切于点 A，竖直墙上另一点 B
A C
与M的连线和水平面的夹角为 600，C是