文档介绍：关于平面的法向量与平面的向量表示
第1页，讲稿共33张，创作于星期六
一、复****引入
、判定和性质
定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么称这条直线和这个平面垂直。
判定：如果一条量确定唯一的一个与该向量垂直的平面。
称此为平面的向量表达式。
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二、概念形成

设分别是平面的法向量，则有
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已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点。求证：平面DEA⊥平面A1FD1 。
二、概念形成

例子
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
利用法向量证明两个平面垂直的基本思路是证明两个平面的法向量互相垂直。
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射影：已知平面和一点A，过点A作的垂线与交于点，则就是点A在平面内的正射影，也可简称射影。
二、概念形成
“三垂线定理”
预备知识：
A
斜线在平面上的正射影：设直线与平面交于点B，但不和垂直，那么直线叫做这个平面的斜线。斜线和平面的交点B叫做斜足。
斜线在平面上的正射影：在直线上任取一点A，作A点在平面内的射影，则平面内直线叫做斜线在该平面内的射影。
A
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已知是平面的斜线，是在平面内的射影,直线且
二、概念形成
“三垂线定理”
三垂线定理：
如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。
A
求证：
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证明：
如图,已知:
求证：
在直线l上取向量 ,只要证
为
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逆定理
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(2)三垂线定理：
如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的垂直，则它也和这条斜线垂直．
(3)三垂线定理的逆定理：
如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的垂直．
射影
射影
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例题分析：
1、判定下列命题是否正确
(1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面
α内的射影，则a⊥b。 ( )
(2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线，
且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b。 ( )
×
×
三垂线定理
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关于三垂线定的应用，关键是找出平面(基准面)及垂线。至于射影则是由垂足、斜足来确定的。
第一、定平面(基准面)
第二、找平面垂线（电线杆）
第三、看斜线，射影可见
三垂线定理
第四、证明直线a垂直于射影线，从而得出a与b垂直。
强调：1°四线是相对同一个平面而言。
2°定理的关键是找“基准面”和“电线杆”。
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[例3]　在正方体ABCDA1B1C1D1
中，求证：A1C是平面BDC1的法向量
[思路点拨]　根据正方体中的垂直关系，找到A1C在平面ABCD和平面CDD1C1内的射影，由三垂线定理证明BD⊥A1C，C1D⊥A1C.
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[精解详析]　在正方体中，AA1⊥
平面ABCD，所以AC是A1C在平面ABCD
内的射影，又AC⊥BD，所以BD⊥A1C.
同理D1C是A1C在平面CDD1C1内的射影．
所以C1D⊥∩BD＝D，所以A1C⊥平面BDC1.
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1．正三棱锥PABC中，求证：BC⊥PA.
证明：在正三棱锥PABC中，P在底
面ABC内的射影O为正三角形ABC的
中心，连接AO，则AO是PA在底面A
BC内的射影，且BC⊥AO，所以BC
⊥PA.
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小结

2. 平面的法向量：
3. 平面的向量表示：
4. 两平面平行或重合、垂直的充要条件
，