高考数学解题技巧.docx

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高考数学解题技巧
2016高考数学解题方法
第1计 芝麻开门 点到成功
●计名释义
七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么的合一.
第2计 西瓜开门 滚到成功
●计名释义
比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”.
数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.
●典例示范
［题1］
对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f （x）0，则必有
A. f（0）＋f（2）< 2f（1） B. f（0）＋f（2）≤2 f（1）
C. f（0）＋f（2）≥ 2f（1） D. f（0）＋f（2）2f（1）
［分析］　用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想.　这点在已条件（x-1）f＇(x)≥0中暗示得极为显目.
其一，对f＇(x)有大于、等于和小于0三种情况；
其二，对x-1，也有大于、等于、小于0三种情况.
因此，本题破门，首先想到的是划分讨论.
［解一］ （i）若f＇(x) ≡ 0时，则f(x)为常数：此时选项B、C符合条件.
（ii）若f＇(x)不恒为0时. 则f＇(x)≥0时有x≥1，f（x）在上为增函数；f＇(x)≤0时x ≤1. 即f（x）在上为减函数. 此时，选项C、D符合条件.
综合（i），（ii），本题的正确答案为C.
［插语］ 考场上多见的错误是选D. 忽略了f＇(x) ≡ 0的可能. 以为（x-1）f＇(x) ≥0中等号成立的条件只是x-1=0，其实x-1=0与f＇(x)=0的意义是不同的：前者只涉x的一个值，即x=1，而后是对x的所有可取值，有f＇(x) ≡ 0.
［再析］ 本题f（x）是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具体的函数值f（0），f（1），f（2）.　因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想.
［解二］ （i）若f＇(x)=0，可设f（x）=１.　选项Ｂ、Ｃ符合条件.
（ii）f＇(x)≠0. 可设f(x) =（x-1）2 又　f＇(x)=2（x-1）.
满足　(x-1) f＇(x) =2 (x-1)2≥0，而对 f (x)= (x-1)2. 有f（0）= f（2）=1，f（1）=0
选项C，D符合条件. 综合（i），（ii）答案为C.
［插语］ 在这类f (x)的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x-1)2. 如果在同类中找到了(x-1)4 ，(x-1) ，自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化.
［再析］ 本题以函数（及导数）为载体. 数学思想①——“函数方程（不等式）思想”. 贯穿始终，如由f （x）= 0找最值点x =0，由f （x）>0（<0）找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题.
由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到.
［解三］ （i）若f (0)= f (1)= f (2)，即选B，C，则常数f (x) = 1符合条件. （右图水平直线）
（ii）若f (0)= f (2)< f (1)对应选项A.（右图上拱曲线），但不满足条件(x-1) f （x）≥0
若f (0)= f (2)> f (1)对应选项C，D（右图下拱曲线）. 则满足条件(x-1) f （x）≥0.
［探索］ 本题涉及的抽象函数f (x)，没有给出解析式，只给出了它的一个性质：(x-1) f （x）≥0，并由此可以判定f (0)+ f (2) ≥ f (1). 自然，有这种性质的具体函
数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数.
［变题］ 以下函数f (x)，具有性质(x-1) f （x）≥0从而有f (0)+ f (2) ≥2 f (1)的函数是
A. f（x）= (x-1)3 B. f（x）= (x-1) C. f（x）= (x-1) D. f（x）= (x-1)
［解析］ 对A，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；对B，f (0)无意义；
对C，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；
答案只能是D. 对D， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1.
且f （x）=(x-1) 使得