文档介绍：众所周知，在同一个圆中，相等（相同）的弧（弦）所对的圆周角相等；
相等（相同）的弧（弦）所对的圆心角相等；
四个顶点在同一个圆的四边形（圆内接四边形）对角互补，任一内角的外角等于其内 角的对角，。
巧妙运用这一知识点可轻松解决一些角度1)当点P在BD上方时(如图1),过点A作AF± AP, 交BP于点F,过点A作AM ± BP于点M。
VZ BPD= Z BAD=90 ° ,
AB、A、P、D 四点共圆，Z PDA= ZABP,
Z PAD=90° - Z FAD, Z BAF=90° - Z FAD ,
AZ PAD= Z BAF。
在 △ PAD 和 △ FAB 中： Z PDA= Z ABP ,
Z PAD= Z BAF, AD=AB ,
・•・△ PAD S FAB , A AP=AF , FB=PD=1 ；
V CD=、2 ,
・•・ BD=2 , BP=d3 , PF=N3 -1, AM= (3-1) /2 ； (2)当点P在BD下方时(如图2)，过点A作AG± AP,交PB延长线于点G,过
点A作AM ±BP于点M。
VZBPD= ZBCD=90 °，,B、C、P、D 四点共圆，
Z PDC= Z PBC ；
Z PAD=90°-Z PAB , Z BAG=90°-Z PAB , AZ PAD= Z BAG ；
Z PDA=90° + Z PDC , Z GBA=90° + Z PBC ,
AZ PDA= Z GBA。
在△ PAD 和△ GAB 中： Z PAD= Z BAG , Z PDA= Z GBA, AD=AB ,
・•・△ PAD S GAB ,
A AP=AG , GB=PD=1 ；
V BP=、3 , PG=d3+1 , AM= (43+1 ) /2。
综上所述，点A到BP的距离为：(43-1) /2 ；或(43+1 ) /2。
【例7】如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，/ AOC=60 °，点P在AB的 延长线上，且PB=BO=3cm，连接PC交半圆于点D,过P作PE±PA交AD的延长线 于点E，求PE的长。
【解析】如图，连接BD、BE。
VZ AOC=60 ° ,・•・/ ADC=30 ° ；
•・• AB 为直径，・，・Z ADB=90°，又Z BPE=90° ,
・•・B、P、E、D四点共圆，
AZPBE= ZPDE= ZADC=30° ,
；.PE=3xtan30=J3(cm).
【例8】如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上 任意一点，过点 E作EF± AC于点F,连接BF交直 线AE于点G,连接CG。
(1)求Z BGC的度数；
(2)证明：AG ± CG。
【解析】(1)如图，连接DF。
易知 A、D、E、F 四点共圆，AZ FAE= ZFDE, VZ FDE= Z CBG ,AZ CAG= Z FAE= Z CBG, A A、B、C、G四点共圆， AZBGC= ZBAC=45° ；
(2)V A、B、C、G 四点共圆，Z ABC=90° , AZAGC=90°，故 AG±CG。
【例9】如图，已知^ ABC中，AH是高，AT是角平 分线，且 TD± AB ,TE± AC。求证：（1）NAHD= /AHE；
BH : BD=CH : CE。
【解析】(1) •・• AT是角平分线，TD± AB , TE± AC,
•・△ ADT " AET，/ ATD= Z ATE ；
V TD ± AB , AH±TH，二 A、D、T、H 四点共圆， AZ AHD= Z ATD ；
V TE ± AC, AH ± TH,
A A、T、H、E 四点共圆，AZ AHE= Z ATE ；
AZ AHD= Z AHE ； (2)V TD± AB , AH±TH,
•・△ BDT M BHA, A BH ： BD=AB ： BT ；
A、T、H、E 四点共圆，・•・△ CEH^^CTA,
A CH ： CE=AC ： CT ；
AT 是角平分线，A AB ： BT=AC ： CT,
A BH ： BD=CH ： CE。
【例10］如图，已知在凸五边形 ABCDE中，Z BAE=3a BC=CD=DE , 且 Z BCD= Z CDE=180°-2a。 求证： Z BAC= Z CAD= Z DAE。
【解析】如图，连接BD, CE。
BC=CD=DE , Z BCD= Z CDE=180° -2a,
AZ DCE= Z DEC=a , Z CBD= Z CDB=a ,
A B、C、D、E 四点共圆，Z BEC= Z CDB=a ,
Z EBD=