文档介绍：(完整版)必修四平面几何中的向量方法(附答案)
(完整版)必修四平面几何中的向量方法(附答案)
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(完整版)必修四平面几何中的向量方法(附答案)
平面几何中的向量方法
[学****目标]1____；直线
2x－y－1＝0与直线
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3x＋y＋1＝0的夹角为
________．
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答案
90°
45°
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知识点三
直线的法向量
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(1)直线Ax＋By＋C＝0的法向量为(A，B)；直线y＝kx＋b的法向量为(k，－1)．
(2)直线法向量的简单应用：利用直线的法向量判断两直线的地点关系：关于直线l1：A1x＋
B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，它们的法向量分别为
n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2)．
当n1
∥n
时，l
∥l
或l
与l
重合．即AB
－AB＝0?
l∥l
或l
与l
重合；
2
1
2
1
2
12
21
12
1
2
当n1⊥n2时，l1⊥＋B1B2＝0?l1⊥l2.
思考
直线l1
：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0
2
垂直，则a的值
与直线l：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0
为________．
答案±1
解析n1＝(a＋2,1－a)，n2＝(a－1,2a＋3)，
l1⊥l2，
n1·n2＝(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)
(a－1)(－a－1)＝0，
∴a＝±1.
题型一
向量在平面几何中的应用
例1
求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．
解
如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为
x轴、y轴成立直角坐标
系．
设A(2a,0)，B(0,2a)，
则D(a,0)，C(0，a)，
→
→
进而可求：AC＝(－2a，a)，BD＝(a，－2a)，
→
→
→→
AC·BD
不妨设AC
、BD的夹角为θ，则cosθ＝
→→
|AC||BD|
＝－2a，a·a，－2a＝
－4a2
4.
2＝－
5a·5a
5a
5
4
故所求钝角的余弦值为－5.
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(完整版)必修四平面几何中的向量方法(附答案)
追踪训练1已知正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，BE、：
(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.
证明成立如下图的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．
→→
(1)BE＝(－1,2)，CF＝(－2，－1)．
→→
∴BE·CF＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，
→→
∴BE⊥CF，即BE⊥CF.
→
(2)设点P坐标为(x，y)，则FP＝(x，y－1)，
→
→→
FC＝(2,1)
，∵FP∥FC，
x＝2(y－1)，即x＝2y－2，
同理，由
→→
，得y＝－2x＋4，
BP∥BE
x＝2y－2，
6，
由
得
x＝5
y＝－2x＋4
8
y＝
，
5
∴点P的坐标为(
6，8
5
5)．
∴