文档介绍：1
平面问题的有限元法
主讲人:杨红林
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目录
一、平面问题的定义
1、平面应力问题
2、平面应变问题
二、平面问题有限元法
1、结构离散
2、三角形单元分析
3、整体分析总体刚度矩阵
4、非节点载荷移置
5、边界条件处理求解
三、简单算例
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一、平面问题的定义
1、平面应力问题
平面应力问题满足以下两个条件。
(1)几何条件结构是一很薄的等厚度薄板;
(2)载荷条件作用于薄板上的载荷平行于板平面、沿厚度方向均匀分布,而在两板面上无外力作用。
Y
X
Z
O
t
结论:板面不受力,则有
σZ Z= + t/2
=0
τYZ Z= + t/2
=0
τZX z= + t/2
=0
因板很薄,载荷又不沿厚度变化,应力沿板的厚度方向是连续分布的,可以认为,在整个板内各点都有
σZ=0 τYZ=0 τZX=0
根据剪应力的互等性、物理方程,可得描述平面应力问题的八个独立的基本变量
为
图1 平面应力问题
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σ=[σX σY τXY]T
ε=[εX εY γXY]T
d=[μν]T
它们仅为x、y的函数而与z无关。
2、平面应变问题
满足以下两个条件的弹性力学问题为平面应变问题。
(1)结构是长柱体,横截面沿长度方向不变;
(2)载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布、两端不受力。
Z
Y
X
O
t
图2 平面应变问题
结论:结构不能发生沿Z轴方向的位移,则有
ω=0 μ=μ(x,y) ν=ν(x,y)
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根据几何方程、物理方程可得,描述平面应变问题的独立变量也是八个,且与平面应力问题的一样。只是弹性矩阵变为
D=
而平面应力问题的弹性矩阵为
D=
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二、平面问题有限元法
1、结构离散
结构离散化过程:
连续体结构
有限单元的结合体
代替原连续体
平面问题用二维区域表示
可用不同形状的单元,此处用三角形单元
离散
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2、三角形单元分析
⑴单元位移模式形函数
根据位移函数选择方法,三节点三角形单元的位移函数
μ=μ(x,y)=α1+α2x+α3y
ν=ν(x,y)=α4+α5x+α6y
O
Y
X
节点1(x1,y1)
μ1
ν1
节点2(x2,y2)
μ2
ν2
节点3(x3,y3)
μ3
ν3
图3 三节点三角形单元
将三个节点的位移代入,整理得
α1=
α2=
α3=
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α4= (ɑ1ν1+ɑ2ν2+ɑ3ν3)
α5= (b1v1+b2v2+b3v3)
α6= (c1v1+c2v2+c3v3)
其中
A=
ɑ1=
b1=-
c1=
(1,2,3)
上式表示下标轮换,即1 2,2 3,3 1同时更换。
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重写位移函数,并以节点位移的形式进行表达,有
其中形函数矩阵为
N= 其中
Ni= (ɑi +bix + ciy) ,i=1、2、3。
⑵单元的应变与应力
单元应变ε=B qe
式中应变矩阵B为
B=
节点位移列阵qe
qe=[u1 v1 u2 v2 u3 v3]T
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单元应力σ=Dε=DBqe
⑶单元分析单元刚度矩阵
根据虚位移原理,可得单元刚度方程
Fe=Keqe
其中单元刚度矩阵为
Ke=
对于三节点等厚三角形单元,B、D均为常数矩阵,则单元刚度矩阵可表示为
Ke=BTDBtA
3、非节点载荷移置
有限元模型是一组仅在节点连接、仅靠节点传力、仅受节点载荷、仅在节点处受约束的单元组合体。只有节点是可以承受载荷与约束的。
⑴集中力的移置
单元内任意一点作用集中力
P=[Px Py]T