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椭圆
典例剖析
知识点一椭圆定义的应用
2 2
、- x V
*例』 方程25^^ 需市1表木焦点在y轴上的椭圆，则 m的取值围是 .
9
斛析：因为焦点在 y轴上，所以16+n>2 ( c,0),
F2 (c,0) , M点的坐标为(c , 2 b),则4 RtAM F1F2中：
3
|FiF2|2+|MF2| 2=|MFi|2,
即 4c2+4 b2=|MF1|2.
9
而 |MFii+| MF2|= ,4c2 4 b2 2b 2a,
整理得 3c2=3a2 2 ab.
又 c2=a2 b2,所以 3b=2a.
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所以j二，
a 9
2 c2 a2 b2 / b2 5 j . 5
所以e f ——2— 1 1一,所以e=——
a a a 9 3
知识点六直线与椭圆的位置关系问题
,例6 当ma何值时，直线l ： y=x+mW椭圆9x2+16y2= 144相切、
相交、相离.
由题意，得
y= x+ m\ ①
2 2
9x+16y = 144.②
①代入②，得 9x2+ 16(x+ n)2= 144, 化简，整理，得 25x2+ 32m奸 16ni-144 = 0,
△ = (32 n)2- 4X25X(16 m2— 144) =- 576n2+ 14 400.
当△ = 0时，得m= ±5,直线l与椭圆相切.
△ >0时，得—5<n<5,直线l与椭圆相交.
当A<0时，得n<-5,或m>5,直线l与椭圆相离.
知识点七 中点弦问题
,2)是直线l被椭圆奈+y=1所截得的线段的中点，求 l 36 9
的方程.
解 设l与椭圆的交点为 A(x1, y1), B(x2, y2),
则有
2 2
x1 y1 .
36+3=1，
2 2
x2 y2 36 + -9 = 1.
两式相减，得 kAB=匕* x1 — x2
9(x1 x2)
= TT： ： 7
36(yiy2)
2X4 1
=— =一
4X2X2 2
1 〜
l 的万程为：y-2=- 2(x- 4),即 x+2y—8=0.
考题赏析
x? 2 1
1.(高考)设椭圆1(a>b>0)的离心率为e=2，右焦点为
F( c, 0),
方程 ax2+ bx-
c=0的两个实根分别为 x1和x2,则点P(x1, x2)( )
+y2=2
+y2=2上
+y2=2外
解析 x1+ x2= - xx2= —C
a a
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_ , 2 _
2c b + 2ac
2 . 2 2 b
. . Xi + X2= ( Xi + X2) — 2XlX2= -2
.2 2 2 2 1 2 3 2
b=a-c = a- 2a =4a .
3 2 1
2 2 4a +2ax 2a 7
, , X1 + X2= a = 4<2.
1. P( X1, X2)在圆 X2+y2=2.
答案 A
2.（高考）如图所示，AB是平面a的斜线段,
，使得△ ABP
的面积为定值，则动点
C. 一条直线
解析由题意可知
P的轨迹是（
B
D
・椭圆
.两条平行直线
P点在空间中的轨迹应是以 AB为旋转轴的圆柱面，又 P点在平面
所以P点的轨迹应是该圆柱面被平面 a所截出的椭圆.
答案 B
2 2
, F2是椭圆巨卜1的焦点，P为椭圆上一点，则△ P*的周长为（）
A. 16 B . 18
C. 20 D .不确定
答案 B
解析 APFFz的周长为 | PF| +|PE| +| FE| =2a + 2a= 10, c=[25 —9 = 4,周长
为 10+8= 18.
2. a=6, c= 1的椭圆的标准方程是
2 2
X V
+35=1
2 2
x y
+石=1
B.
)
2 2
4工=1
36 35 1
.以上都不对
答案 D
解析因焦点可能在
X轴上，也可